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52 cardsMatura (Reifeprüfung Austria)

Zentralmatura Mathematik: Grundkompetenzen Teil A & B

Kernwissen zu den standardisierten Grundkompetenzen (Algebra, Funktionen, Analysis und Wahrscheinlichkeitsrechnung) der österreichischen Reifeprüfung (SRP) in Mathematik.

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Lösungsformel für quadratische Gleichungen (

p

q

-Formel)

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Lösungsformel für quadratische Gleichungen (

p

q

-Formel)

Für

x^{2} + p x + q = 0

x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q

. Diskriminante

D = (\frac{p}{2})^{2} - q

: zwei Lösungen (

D > 0

), eine Doppellösung (

D = 0

), keine reellen Lösungen (

D < 0

Skalarprodukt und Orthogonalität in

R^{2}

und

R^{3}

a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} (+ a_{3} b_{3}) = ∣ a ∣∣ b ∣ cos φ

. Vektoren sind orthogonal genau dann, wenn

a \cdot b = 0

Zinseszinsformel und kontinuierliche Verzinsung

Jährliche Verzinsung:

K_{n} = K_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n} = K_{0} q^{n}

. Kontinuierliche Verzinsung:

K (t) = K_{0} e^{r t}

, wobei

r

die nominelle Wachstumsrate ist.

Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate

\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}

. Geometrisch entspricht dies der Steigung der Sekante durch

(a, f (a))

und

(b, f (b))

Differentialquotient und momentane Änderungsrate

f^{'} (x_{0}) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f ( x _{0} + Δ x ) - f ( x _{0} )}{Δ x}

. Geometrisch entspricht dies der Tangentensteigung an den Funktionsgraphen im Punkt

x_{0}

Potenzregel und Faktorregel der Differentiation

(x^{r})^{'} = r x^{r - 1}

für alle

r \in R

(c \cdot f (x))^{'} = c \cdot f^{'} (x)

für Konstanten

c

Produktregel und Quotientenregel

(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

und

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

(

v \neq = 0

Kettenregel der Differentialrechnung

(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

('äussere Ableitung mal innere Ableitung').

Kriterien für lokale Extremstellen

Notwendige Bedingung:

f^{'} (x_{0}) = 0

. Hinreichende Bedingung:

f^{''} (x_{0}) < 0 ⟹

lokales Maximum;

f^{''} (x_{0}) > 0 ⟹

lokales Minimum.

Wendepunkt und Krümmungsverhalten

Gilt

f^{''} (x) > 0

, ist der Graph linksgekrümmt (konvex); gilt

f^{''} (x) < 0

, rechtsgekrümmt (konkav). Notwendige Bedingung für Wendepunkt:

f^{''} (x_{0}) = 0

mit Vorzeichenwechsel von

f^{''}

bei

x_{0}

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

, wobei

F

eine Stammfunktion von

f

ist (

F^{'} (x) = f (x)

Flächenberechnung zwischen Funktionsgraph und Achse

A = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x

. Bei Nullstellen im Intervall muss das Integral an jeder Nullstelle aufgeteilt werden.

Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse

V = π \int_{a}^{b} (f (x))^{2} d x

bei Drehung der Fläche unter

f (x)

um die

x

-Achse.

Lineare Funktion: Steigung und Achsenabschnitt

f (x) = k x + d

. Steigung

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} = tan α

, Ordinatenabschnitt

d = f (0)

Exponentielles Wachstum und Halbwertszeit

N (t) = N_{0} a^{t} = N_{0} e^{λ t}

. Verdopplungszeit:

T_{2} = \frac{l n 2}{λ}

; Halbwertszeit:

T_{1/2} = \frac{l n 2}{∣ λ ∣}

(für

λ < 0

Logistische Wachstumsfunktion

f (t) = \frac{S}{1 + c e ^{- k S t}}

, wobei

S

die Kapazitätsgrenze (Sättigungswert) ist. Die maximale Zuwachsrate liegt bei

f (t) = \frac{S}{2}

vor.

Trigonometrische Funktionen: Amplitude und Periode

f (x) = a sin (b (x - c)) + d

. Amplitude

∣ a ∣

, Periode

P = \frac{2 π}{∣ b ∣}

, Phasenverschiebung

c

, vertikale Verschiebung

d

Laplace-Wahrscheinlichkeit

P (A) = \frac{Anzahl der f u ¨ r A g u ¨ nstigen F a ¨ lle}{Anzahl aller m o ¨ glichen gleichwahrscheinlichen F a ¨ lle}

Gegenereignis und Additionssatz

P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)

. Allgemeiner Additionssatz:

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

(

P (B) > 0

A

und

B

sind stochastisch unabhängig

⟺ P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

Satz von Bayes

P (A_{i} ∣ B) = \frac{P ( A _{i} ) \cdot P ( B ∣ A _{i} )}{\sum _{j} P ( A _{j} ) \cdot P ( B ∣ A _{j} )}

, ermöglicht die Inversion bedingter Wahrscheinlichkeiten.

Binomialverteilung Formel von Bernoulli

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

. Erwartungswert

μ = n p

, Varianz

σ^{2} = n p (1 - p)

Normalverteilung: z-Transformation und Sigma-Regeln

z = \frac{x - μ}{σ}

. Es gilt:

P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 68.3%

P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 95.4%

P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 99.7%

Konfidenzintervall für relative Häufigkeiten

Grosses

n

p \in [h - z \frac{h ( 1 - h )}{n}, h + z \frac{h ( 1 - h )}{n}]

, wobei

z = 1.96

für

95%

-Sicherheit steht.

Kosten- und Preistheorie: Erlös, Gewinn und Deckungsbeitrag

Erlös

E (x) = p (x) \cdot x

, Gewinn

G (x) = E (x) - K (x)

. Gewinnschwelle (Break-Even-Point):

G (x) = 0 ⟺ E (x) = K (x)

. Gewinnmaximum:

G^{'} (x) = 0 ⟺ E^{'} (x) = K^{'} (x)

(Grenzerlös = Grenzkosten).

Binomialverteilung: Formel und Parameter

Für

X \sim B (n; p)

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

. Erwartungswert

μ = n p

, Varianz

σ^{2} = n p (1 - p)

, Standardabweichung

σ = n p (1 - p)

Normalverteilung und

z

-Transformation

Für

X \sim N (μ; σ^{2})

erfolgt die Standardisierung über

z = \frac{x - μ}{σ}

. Es gilt:

P (X \leq x) = Φ (z)

. Symmetrie:

Φ (- z) = 1 - Φ (z)

Sigma-Regeln der Normalverteilung

P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 68, 3%

;

P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 95, 4%

;

P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 99, 7%

Baumdiagramm und Pfadregeln

1. Pfadregel (Multiplikation): Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades werden multipliziert. 2. Pfadregel (Addition): Wahrscheinlichkeiten disjunkter Pfade werden addiert.

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes

Bedingte Wahrscheinlichkeit:

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

für

P (B) > 0

. Satz von Bayes:

P (A ∣ B) = \frac{P ( B ∣ A ) \cdot P ( A )}{P ( B )}

Eigenschaften von Potenzfunktionen ((x) = a \cdot x^z$)

Für ganzzahliges

: g er a d es > 0

ergibt achsensymmetrische Parabeln; ungerades > 0$ punktsymmetrische Kurven. Für negatives $ entstehen Hyperbeln mit Polstellen bei = 0$.

Exponentialfunktion und Wachstumsmodelle

f (t) = N_{0} \cdot a^{t} = N_{0} \cdot e^{λ t}

mit

a = e^{λ}

. Für

a > 1

bzw.

λ > 0

: exponentielles Wachstum. Für

0 < a < 1

bzw.

λ < 0

: exponentieller Zerfall.

Verdopplungszeit und Halbwertszeit

Verdopplungszeit:

T_{2} = \frac{l n 2}{λ} = \frac{l n 2}{l n a}

. Halbwertszeit:

T_{1/2} = \frac{l n 2}{∣ λ ∣} = \frac{l n 0 , 5}{l n a}

Sinus- und Cosinusfunktion: Amplitude und Periode

Für

f (x) = A \cdot sin (b \cdot (x - c)) + d

: Amplitude

∣ A ∣

, Periode

p = \frac{2 π}{∣ b ∣}

, Phasenverschiebung

c

, vertikale Verschiebung

d

Gerade in Parameterform in

R^{2}

und

R^{3}

g : X = P + t \cdot v

mit

t \in R

P

ist der Stützvektor (Ortsvektor eines Punktes auf

g

) und

v \neq = 0

der Richtungsvektor.

Normalvektorform einer Geraden in

R^{2}

g : a x + b y = c

mit Normalvektor

n = (b a) \neq = 0

. Ein Vektor

v

ist Richtungsvektor genau dann, wenn

n \cdot v = 0

, z. B.

v = (a - b)

Lagebeziehung zweier Geraden in der Ebene

Parallel: Richtungsvektoren linear abhängig, kein gemeinsamer Punkt. Identisch: Richtungsvektoren abhängig, mindestens ein gemeinsamer Punkt. Schneidend: Richtungsvektoren linear unabhängig, genau ein Schnittpunkt.

Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

sin α = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}

cos α = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}

tan α = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}

. Satz des Pythagoras:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Sinussatz und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck

Sinussatz:

\frac{a}{s i n α} = \frac{b}{s i n β} = \frac{c}{s i n γ} = 2 R

. Cosinussatz:

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α

(bzw. für

b^{2}

und

c^{2}

analog).

Ableitung von

e^{x}

a^{x}

und

ln x

(e^{x})^{'} = e^{x}

(a^{x})^{'} = a^{x} \cdot ln a

(

a > 0

(ln x)^{'} = \frac{1}{x}

(

x > 0

(lo g_{a} x)^{'} = \frac{1}{x \cdot l n a}

Ableitung trigonometrischer Grundfunktionen

(sin x)^{'} = cos x

(cos x)^{'} = - sin x

(tan x)^{'} = \frac{1}{c o s ^{2} x} = 1 + tan^{2} x

Grundintegrale von

x^{n}

\frac{1}{x}

und

e^{k x}

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C

(

n \neq = - 1

);

\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C

;

\int e^{k x} d x = \frac{1}{k} e^{k x} + C

(

k \neq = 0

Wirtschaftsmathematik: Kosten, Erlös und Gewinn

Erlösfunktion:

E (x) = p (x) \cdot x

. Gewinnfunktion:

G (x) = E (x) - K (x)

. Deckungsbeitrag:

D B (x) = E (x) - K_{v} (x)

. Gewinnschwelle/Gewinngrenze:

G (x) = 0

Wirtschaftsmathematik: Grenzkosten und Cournotscher Punkt

Grenzkosten

K^{'} (x)

: approximativer Kostenzuwachs für eine zusätzliche Einheit. Gewinnmaximum bei

G^{'} (x) = 0 ⟺ E^{'} (x) = K^{'} (x)

(Grenzerlös = Grenzkosten).

Wirtschaftsmathematik: Betriebsoptimum und Betriebsminimum

Stückkosten

k (x) = \frac{K ( x )}{x}

. Betriebsoptimum: Minimum der Stückkosten (

k^{'} (x) = 0 ⟺ k (x) = K^{'} (x)

). Betriebsminimum: Minimum der variablen Stückkosten (

k_{v}^{'} (x) = 0

Kombinatorik: Permutationen, Variationen und Kombinationen

Permutationen ohne Wiederholung:

n!

. Variationen ohne Wiederholung:

\frac{n !}{( n - k )!}

. Kombinationen ohne Wiederholung:

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

Statistische Kennzahlen: Lagemaße und Streumaße

Lagemaße: arithmetisches Mittel

\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{n} \sum x_{i}

, Median (zentraler Wert), Quartile

q_{1}, q_{3}

. Streumaße: empirische Varianz

s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}

, Standardabweichung

s

, Spannweite.

Absolute, relative und prozentuelle Änderung

Absolute Änderung:

Δ x = x_{2} - x_{1}

. Relative Änderung:

\frac{x _{2} - x _{1}}{x _{1}} = \frac{Δ x}{x _{1}}

. Prozentuelle Änderung:

\frac{x _{2} - x _{1}}{x _{1}} \cdot 100%

. Änderungsfaktor:

a = \frac{x _{2}}{x _{1}}

Geometrische Folge und geometrische Reihe

Explizite Form:

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

. Partialsumme:

s_{n} = a_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}

(

q \neq = 1

). Grenzwert der unendlichen Reihe (

∣ q ∣ < 1

s = \frac{a _{1}}{1 - q}

Konfidenzintervall für einen unbekannten Anteil

p

[h - z \cdot \frac{h ( 1 - h )}{n}; h + z \cdot \frac{h ( 1 - h )}{n}]

, wobei

h = \frac{k}{n}

die relative Stichprobenhäufigkeit und

z

der Quantilswert ist (

z \approx 1, 96

für

95%

Hypothesentest: Fehler 1. und 2. Art

Fehler 1. Art (

lpha

H_{0}

wird irrtümlich abgelehnt, obwohl sie wahr ist (

P (Fehler 1. Art) \leq α

). Fehler 2. Art (

eta

H_{0}

wird beibehalten, obwohl

H_{1}

wahr ist.

Korrelationskoeffizient nach Pearson

r \in [- 1; 1]

misst die Stärke des linearen Zusammenhangs zweier metrischer Variablen.

r = 1

: perfekter positiver linearer Zusammenhang;

r = - 1

: perfekter negativer linearer Zusammenhang;

r = 0

: kein linearer Zusammenhang.

Matura (Reifeprüfung Austria) in Austria

In Austria, Matura (Reifeprüfung Austria) is part of: School-leaving exams.

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