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高考数学: 核心公式与必备解题模型

高考数学核心公式与解题模型速记卡片，涵盖函数、数列、立体几何、概率统计等常用结论，适合考前复习。原创学习材料。

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导数的几何意义与切线方程

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导数的几何意义与切线方程

函数

y = f (x)

在点

(x_{0}, f (x_{0}))

处的切线斜率

k = f^{'} (x_{0})

，切线方程为

y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

。

常见初等函数导数公式

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

(e^{x})^{'} = e^{x}

(a^{x})^{'} = a^{x} ln a

(ln x)^{'} = \frac{1}{x}

(sin x)^{'} = cos x

(cos x)^{'} = - sin x

。

极值点与导数正负判断准则

若

f^{'} (x_{0}) = 0

，且

x

穿过

x_{0}

时

f^{'} (x)

由正变负，则

x_{0}

为极大值点；若由负变正，则为极小值点。

同角三角函数基本关系式

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

tan α = \frac{s i n α}{c o s α}

1 + tan^{2} α = sec^{2} α

。

两角和与差的正弦与余弦公式

sin (α \pm β) = sin α cos β \pm cos α sin β

cos (α \pm β) = cos α cos β \mp sin α sin β

。

二倍角公式

sin 2 α = 2 sin α cos α

cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α = 2 cos^{2} α - 1 = 1 - 2 sin^{2} α

。

辅助角公式 (降幂与合一变形)

a sin x + b cos x = a^{2} + b^{2} sin (x + φ)

，其中

tan φ = \frac{b}{a}

（由点

(a, b)

所在象限决定）。

正弦定理与外接圆半径

\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C} = 2 R

，其中

R

为

△ A B C

外接圆半径。

余弦定理

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C

cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}

。

三角形面积公式

S = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} a c sin B = \frac{ab c}{4 R} = p r

（

p

为半周长，

r

为内切圆半径）。

平面向量数量积与垂直条件

a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

。垂直充要条件：

a \cdot b = 0 ⟺ x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0

。

平面向量平行 (共线) 坐标条件

a ∥ b ⟺ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0

。

等差数列通项与前

n

项和

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2} = n a_{1} + \frac{n ( n - 1 )}{2} d

。

等比数列通项与前

n

项和

a_{n} = a_{1} q^{n - 1}

, 当

q \neq = 1

时

S_{n} = \frac{a _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q} = \frac{a _{1} - a _{n} q}{1 - q}

；当

q = 1

时

S_{n} = n a_{1}

。

构造法求递推数列通项 (

a_{n + 1} = p a_{n} + q

)

设

a_{n + 1} + λ = p (a_{n} + λ)

，对比解得

λ = \frac{q}{p - 1}

，转化为公比为

p

的等比数列。

椭圆标准方程与几何性质

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

(

a > b > 0

)，焦点在

x

轴，焦距

2 c

满足

a^{2} = b^{2} + c^{2}

，离心率

e = \frac{c}{a} \in (0, 1)

。

双曲线标准方程与渐近线

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

(

a > 0, b > 0

)，焦点在

x

轴，

c^{2} = a^{2} + b^{2}

，离心率

e = \frac{c}{a} > 1

，渐近线方程

y = \pm \frac{b}{a} x

。

抛物线标准方程与准线

y^{2} = 2 p x

(

p > 0

)，焦点

F (\frac{p}{2}, 0)

，准线方程为

x = - \frac{p}{2}

；抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离。

点到直线的距离公式

点

P (x_{0}, y_{0})

到直线

A x + B y + C = 0

的距离

d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}

。

基本不等式 (均值不等式)

若

a, b > 0

，则

\frac{a + b}{2} \geq ab

，当且仅当

a = b

时取等号；积定和小，和定积大。

经典不等式链

对任意正实数

a, b

：

\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq ab \leq \frac{a + b}{2} \leq \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2}

(调和

\leq

几何

\leq

算术

\leq

方均根)。

排列数与组合数计算公式

A_{n}^{m} = \frac{n !}{( n - m )!}

C_{n}^{m} = \frac{n !}{m ! ( n - m )!}

，且

C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}

C_{n + 1}^{m} = C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1}

。

二项式定理与通项公式

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}

，展开式的第

k + 1

项通项

T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}

。

条件概率与乘法公式

P (B ∣ A) = \frac{P ( A B )}{P ( A )}

(

P (A) > 0

)，由此得乘法公式

P (A B) = P (A) P (B ∣ A)

。若独立则

P (A B) = P (A) P (B)

。

正态分布曲线的对称性与

3 σ

原则

X \sim N (μ, σ^{2})

：

P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827

P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545

。

Gaokao in China

In China, Gaokao is part of: National exams in China.

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