All flashcard decks Maturita (Czech Republic) syllabus →

52 cardsMaturita (Czech Republic)

Maturita Matematika: Vzorce, Vlastnosti Funkcí a Geometrie

Základní vzorce z algebry, lineárních a kvadratických funkcí, goniometrie, planimetrie, stereometrie, posloupností a kombinatoriky pro společnou část maturitní zkoušky z matematiky (Cermat).

Start studying Play Match

PDF study sheet

Free account needed to save, copy or download. We bring you back here.

1 / 52

0 known

TermClick or press Space to flip

Vzorce pro úpravy algebraických výrazů (druhé mocniny)

GetMyMockTestQuestion side

Full list

Terms in this deck (52)

Maturita (Czech Republic) mock tests →

Vzorce pro úpravy algebraických výrazů (druhé mocniny)

(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}

;

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Vzorce pro třetí mocniny dvojčlenu

(a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}

;

a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})

Kvadratická rovnice a diskriminant

Pro

a x^{2} + b x + c = 0

(

a \neq = 0

D = b^{2} - 4 a c

. Kořeny:

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

. Je-li

D > 0

, dva různé reálné kořeny;

D = 0

, jeden dvojnásobný;

D < 0

, nemá reálné kořeny.

Viètovy vzorce pro kvadratickou rovnici

Pro kořeny normované rovnice

x^{2} + p x + q = 0

platí:

x_{1} + x_{2} = - p

x_{1} \cdot x_{2} = q

Pravidla pro počítání s mocninami a odmocninami

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

;

\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}

;

(a^{m})^{n} = a^{mn}

;

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

;

n a^{m} = a^{m / n}

(

a > 0

Pravidla pro počítání s logaritmy

lo g_{a} (x \cdot y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y

;

lo g_{a} (\frac{x}{y}) = lo g_{a} x - lo g_{a} y

;

lo g_{a} (x^{k}) = k \cdot lo g_{a} x

;

lo g_{a} a = 1

;

lo g_{a} 1 = 0

Změna základu logaritmu

lo g_{a} x = \frac{l o g _{b} x}{l o g _{b} a}

(např.

lo g_{a} x = \frac{l n x}{l n a}

Lineární funkce: předpis a vlastnosti

f (x) = k x + q

. Číslo

k

je směrnice (

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

). Je-li

k > 0

, funkce je rostoucí;

k < 0

, klesající;

k = 0

, konstantní.

Kvadratická funkce a vrchol paraboly

f (x) = a x^{2} + b x + c

. Souřadnice vrcholu

V (x_{0}, y_{0})

x_{0} = - \frac{b}{2 a}

y_{0} = c - \frac{b ^{2}}{4 a}

. Vrcholový tvar:

f (x) = a (x - x_{0})^{2} + y_{0}

Základní goniometrické vzorce

sin^{2} x + cos^{2} x = 1

;

tg x = \frac{s i n x}{c o s x}

(

x \neq = \frac{π}{2} + k π

);

cotg x = \frac{1}{tg x}

Goniometrické vzorce dvojnásobného úhlu

sin (2 x) = 2 sin x cos x

;

cos (2 x) = cos^{2} x - sin^{2} x = 1 - 2 sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1

Pythagorova věta a Eukleidovy věty v pravoúhlém trojúhelníku

Pythagoras:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

. Eukleides o výšce:

v_{c}^{2} = c_{a} \cdot c_{b}

. Eukleides o odvěsně:

a^{2} = c \cdot c_{a}

b^{2} = c \cdot c_{b}

Sinová a kosinová věta v obecném trojúhelníku

Sinová věta:

\frac{a}{s i n α} = \frac{b}{s i n β} = \frac{c}{s i n γ} = 2 R

. Kosinová věta:

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ

Vzorce pro obsah trojúhelníku

S = \frac{a \cdot v _{a}}{2} = \frac{1}{2} ab sin γ = s (s - a) (s - b) (s - c)

(Heronův vzorec, kde

s = \frac{a + b + c}{2}

Rovnostranný trojúhelník: výška a obsah

Pro stranu

a

: výška

v = \frac{a 3}{2}

, obsah

S = \frac{a ^{2} 3}{4}

Kružnice a kruh: obvod a obsah

Obvod kružnice:

o = 2 π r = π d

. Obsah kruhu:

S = π r^{2}

. Délka kruhového oblouku:

l = \frac{π r α}{18 0 ^{\circ}}

Kvádr a krychle: tělesová úhlopříčka a objem

Kvádr:

V = ab c

, povrch

S = 2 (ab + b c + a c)

, tělesová úhlopříčka

u = a^{2} + b^{2} + c^{2}

. Pro krychli (

a = b = c

u = a 3

V = a^{3}

Válec, kužel a koule: objem a povrch

Válec:

V = π r^{2} v

S = 2 π r (r + v)

. Kužel:

V = \frac{1}{3} π r^{2} v

S_{pl} = π r s

(

s = r^{2} + v^{2}

). Koule:

V = \frac{4}{3} π r^{3}

S = 4 π r^{2}

Aritmetická posloupnost:

n

-tý člen a součet

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

. Součet prvních

n

členů:

s_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) d)

Geometrická posloupnost:

n

-tý člen a součet

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

. Součet prvních

n

členů (

q \neq = 1

s_{n} = a_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}

. Součet nekonečné řady (

∣ q ∣ < 1

s = \frac{a _{1}}{1 - q}

Faktoriál a kombinační čísla

n! = n (n - 1) \dots 1

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

. Vlastnosti:

(k n) = (n - k n)

(0 n) = 1

(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1)

Kombinatorika: Variace, permutace a kombinace

Permutace bez opakování:

P (n) = n!

. Variace

V (k, n) = \frac{n !}{( n - k )!}

(záleží na pořadí). Kombinace

K (k, n) = (k n)

(nezáleží na pořadí).

Binomická věta

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) a^{n - k} b^{k} = (0 n) a^{n} + (1 n) a^{n - 1} b + \dots + (n n) b^{n}

Klasická pravděpodobnost

P (A) = \frac{m}{n} = \frac{po c ˇ et p r ˇ ı ˊ zniv y ˊ ch v y ˊ sledk u ˚}{po c ˇ et v s ˇ ech mo z ˇ n y ˊ ch v y ˊ sledk u ˚}

. Platí

0 \leq P (A) \leq 1

Pravděpodobnost sjednocení a nezávislé jevy

Obecně:

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

. Jsou-li jevy

A

B

nezávislé:

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

Vietovy vzorce pro kvadratickou rovnici

Pro normovaný tvar

x^{2} + p x + q = 0

x_{1} + x_{2} = - p

x_{1} \cdot x_{2} = q

Aritmetická posloupnost: n-tý člen a součet

n-tý člen:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

. Součet prvních

n

členů:

s_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})

Geometrická posloupnost: n-tý člen a součet

n-tý člen:

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

. Součet prvních

n

členů pro

q \neq = 1

s_{n} = a_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}

Součet nekonečné geometrické řady

Konverguje pro

∣ q ∣ < 1

s = \frac{a _{1}}{1 - q}

Základní goniometrická jednička

Pro každé reálné

x

platí:

sin^{2} (x) + cos^{2} (x) = 1

Goniometrické vzorce pro dvojnásobný úhel

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

cos (2 x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = 2 cos^{2} (x) - 1

Definice a derivace funkce tangens

tan (x) = \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}

pro

x \neq = \frac{π}{2} + k π

. Derivace:

(tan x)^{'} = \frac{1}{c o s ^{2} ( x )}

Logaritmická pravidla

lo g_{a} (x \cdot y) = lo g_{a} (x) + lo g_{a} (y)

lo g_{a} (\frac{x}{y}) = lo g_{a} (x) - lo g_{a} (y)

lo g_{a} (x^{k}) = k \cdot lo g_{a} (x)

Kombinatorika: Variace bez opakování

V (k, n) = \frac{n !}{( n - k )!}

. Záleží na pořadí, prvky se neopakují.

Kombinatorika: Kombinace bez opakování

C (k, n) = (k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

. Na pořadí výběru nezáleží.

Derivace součinu funkcí (Leibnizovo pravidlo)

(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

Derivace podílu dvou funkcí

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

pro

v (x) \neq = 0

Derivace složené funkce (řetízkové pravidlo)

[f (g (x))]^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

Rovnice tečny ke grafu funkce v bodě

x_{0}

y - y_{0} = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

, kde

y_{0} = f (x_{0})

a směrnice

k = f^{'} (x_{0})

Základní integrály mocninných funkcí

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C

pro

n \neq = - 1

; pro

n = - 1

\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C

Analytická geometrie: Vzdálenost dvou bodů v rovině

d (A, B) = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}

Skalární součin vektorů v rovině

u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} = ∣ u ∣ \cdot ∣ v ∣ \cdot cos (φ)

. Kolmost:

u \cdot v = 0

Obecná rovnice přímky v rovině

a x + b y + c = 0

, kde normálový vektor přímky je

n = (a, b)

Středová rovnice kružnice

(x - m)^{2} + (y - n)^{2} = r^{2}

, kde střed je

S (m, n)

a poloměr

r > 0

Středová rovnice elipsy

\frac{( x - m ) ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( y - n ) ^{2}}{b ^{2}} = 1

, s délkami poloos

a

b

a excentricitou

e = a^{2} - b^{2}

Sinová věta v obecném trojúhelníku

\frac{a}{s i n α} = \frac{b}{s i n β} = \frac{c}{s i n γ} = 2 R

, kde

R

je poloměr kružnice opsané.

Kosinová věta v obecném trojúhelníku

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ

Klasická pravděpodobnost podle Laplace

P (A) = \frac{m}{n} = \frac{po c ˇ et p r ˇ ı ˊ zniv y ˊ ch v y ˊ sledk u ˚}{celkov y ˊ po c ˇ et mo z ˇ n y ˊ ch v y ˊ sledk u ˚}

Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

pro

P (B) > 0

Moivreova věta pro komplexní čísla

Pro goniometrický tvar komplexního čísla platí:

[r (cos φ + i sin φ)]^{n} = r^{n} (cos (n φ) + i sin (n φ))

Normálové rozdělení pravděpodobnosti (Gaussovo)

Hustota pravděpodobnosti je symetrická křivka zvonovitého tvaru určená střední hodnotou a směrodatnou odchylkou.

Objem a povrch rotačního kužele

Objem:

V = \frac{1}{3} π r^{2} v

. Plášť:

S_{pl} = π r s

, kde strana

s = r^{2} + v^{2}

. Celkový povrch:

S = π r (r + s)

Maturita (Czech Republic) in the Czech Republic

In the Czech Republic, Maturita (Czech Republic) is part of: School-leaving exams.

Students on the same pathway also practise:

Czech General Knowledge

More Maturita (Czech Republic) practice

Maturita (Czech Republic) mock tests

All Maturita (Czech Republic) practice →