All flashcard decks Bacalaureat Național (Romania) syllabus →

52 cardsBacalaureat Național (Romania)

Bacalaureat Matematică: Formule M1

52 de fișe recapitulative cu formule esențiale de algebră liniară, structuri algebrice, limite, derivate și calcul integral pentru Bacalaureat M1.

Start studying Play Match

PDF study sheet

Free account needed to save, copy or download. We bring you back here.

1 / 52

0 known

TermClick or press Space to flip

Teorema Cayley-Hamilton pentru matrici de ordin 2

GetMyMockTestQuestion side

Full list

Terms in this deck (52)

Bacalaureat Național (Romania) mock tests →

Teorema Cayley-Hamilton pentru matrici de ordin 2

Pentru orice matrice

A \in M_{2} (C)

A^{2} - Tr (A) A + det (A) I_{2} = O_{2}

, unde

Tr (A) = a_{11} + a_{22}

este urma matricei.

Formula matricei inverse folosind adjuncta

A^{- 1} = \frac{1}{d e t ( A )} A^{*}

, unde

A^{*} = (P_{ij})^{t}

este transpusa matricei cofactorilor (complemenților algebrici

P_{ij} = (- 1)^{i + j} Δ_{ij}

Determinantul Vandermonde de ordin 3

V (a, b, c) = 1 a a^{2} 1 b b^{2} 1 c c^{2} = (b - a) (c - a) (c - b)

Teorema lui Rouché-Capelli (Compatibilitatea sistemelor)

Un sistem liniar

A X = B

este compatibil dacă și numai dacă rangul matricei sistemului

A

este egal cu rangul matricei extinse

\overset{ˉ}{A} = (A ∣ B)

rang (A) = rang (\overset{ˉ}{A})

Relațiile lui Viète pentru polinom de gradul 3

Pentru

P (X) = a X^{3} + b X^{2} + c X + d

x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}

x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1} = \frac{c}{a}

x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a}

Proprietatea rădăcinilor complexe ale polinoamelor reale

Dacă un polinom cu coeficienți reali

P \in R [X]

admite rădăcina complexă nereala

z = u + i v

(

v \neq = 0

), atunci admite ca rădăcină și conjugata

\overset{z}{ˉ} = u - i v

cu același ordin de multiplicitate.

Element simetrizabil într-o lege de compoziție

Fie

(M, *)

cu element neutru

e

. Elementul

x \in M

este simetrizabil dacă există

x^{'} \in M

astfel încât

x * x^{'} = x^{'} * x = e

Grup abelian (comutativ)

O structură

(G, \cdot)

este grup abelian dacă legea este asociativă, admite element neutru, orice element admite un simetric (invers), și operația este comutativă (

x \cdot y = y \cdot x, \forall x, y

Morfism de grupuri

O funcție

f : (G, *) \to (H, \circ)

este morfism de grupuri dacă

f (x * y) = f (x) \circ f (y)

pentru orice

x, y \in G

. Dacă

f

este bijectivă, se numește izomorfism.

Limita fundamentală:

lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x}

și derivate

lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1

lim_{x \to 0} \frac{l n ( 1 + x )}{x} = 1

lim_{x \to 0} \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1

lim_{x \to 0} \frac{( 1 + x ) ^{r} - 1}{x} = r

Ecuația asimptotei oblice spre

+ \infty

y = m x + n

, unde panta

m = lim_{x \to \infty} \frac{f ( x )}{x}

(finit,

\neq = 0

) și ordonata

n = lim_{x \to \infty} (f (x) - m x)

(finit).

Teorema lui Fermat pentru puncte de extrem

Dacă

f : (a, b) \to R

este derivabilă în punctul de extrem local

x_{0} \in (a, b)

, atunci derivata în acel punct este nulă:

f^{'} (x_{0}) = 0

Teorema lui Rolle

Fie

f : [a, b] \to R

continuă pe

[a, b]

, derivabilă pe

(a, b)

și

f (a) = f (b)

. Atunci există cel puțin un punct

c \in (a, b)

astfel încât

f^{'} (c) = 0

Teorema lui Lagrange (Teorema creșterilor finite)

Fie

f : [a, b] \to R

continuă pe

[a, b]

și derivabilă pe

(a, b)

. Atunci există

c \in (a, b)

astfel încât

\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} = f^{'} (c)

Șirul lui Rolle pentru numărul rădăcinilor reale

Numărul de rădăcini reale ale ecuației

f (x) = 0

într-un interval este egal cu numărul de schimbări de semn din șirul valorilor funcției

f

evaluate în

- \infty

, rădăcinile derivatei

f^{'} (x) = 0

, și

+ \infty

Punct de inflexiune și concavitate

Dacă

f^{''} (x) > 0

pe un interval, funcția este convexă (grafic în formă de U). Dacă

f^{''} (x) < 0

, este concavă. Punctul în care

f^{''}

își schimbă semnul este punct de inflexiune.

Formula integrării prin părți (integrale definite)

\int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x

Formula schimbării de variabilă la integrala definită

\int_{a}^{b} f (u (x)) u^{'} (x) d x = \int_{u (a)}^{u (b)} f (t) d t

(cu

u

funcție derivabilă cu derivata continuă).

Formula Leibniz-Newton

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

, unde

F

este o primitivă a funcției continue

f

[a, b]

(

F^{'} (x) = f (x)

Aria unei suprafețe plane cuprinsă între două curbe

Aria = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x

. Dacă

f (x) \geq g (x)

[a, b]

, atunci

Aria = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x

Volumul corpului de rotație în jurul axei

O x

V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x

, unde

f : [a, b] \to R

este continuă.

Integrala lui Riemann ca limită de sume

lim_{n \to \infty} \frac{b - a}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (a + k \frac{b - a}{n}) = \int_{a}^{b} f (x) d x

Primitive fundamentale inverse:

\frac{1}{x ^{2} + a ^{2}}

și

\frac{1}{a ^{2} - x ^{2}}

\int \frac{1}{x ^{2} + a ^{2}} d x = \frac{1}{a} arctg (\frac{x}{a}) + C

\int \frac{1}{a ^{2} - x ^{2}} d x = arcsin (\frac{x}{a}) + C

(

a > 0

Derivata unei integrale cu limite variabile

\frac{d}{d x} (\int_{u (x)}^{v (x)} f (t) d t) = f (v (x)) v^{'} (x) - f (u (x)) u^{'} (x)

Proprietatea integralelor funcțiilor pare și impare

Pe interval simetric

[- a, a]

: dacă

f

este impară (

f (- x) = - f (x)

\int_{- a}^{a} f (x) d x = 0

; dacă

f

este pară (

f (- x) = f (x)

\int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \int_{0}^{a} f (x) d x

Formula binomului lui Newton

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}

, unde

C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

Termenul de rang

k + 1

în dezvoltarea binomului

T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}

, unde

k \in {0, 1, \dots, n}

Inegalitatea mediilor (AM-GM-HM)

Pentru numere reale strict pozitive:

m_{h} \leq m_{g} \leq m_{a}

, adică

\frac{n}{\sum 1/ x _{i}} \leq n \prod x_{i} \leq \frac{\sum x _{i}}{n}

Teorema împărțirii cu rest pentru polinoame

Pentru

A, B \in K [X]

B \neq = 0

, există unicele

Q, R \in K [X]

a.î.

A = B \cdot Q + R

de g (R) < de g (B)

Teorema lui Bézout

Restul împărțirii polinomului

P \in K [X]

la binomul

X - a

este valoarea numerică

P (a)

Element inversabil în inelul

(Z_{n}, +, \cdot)

Clasa

\overset{a}{^} \in Z_{n}

este inversabilă în raport cu înmulțirea dacă și numai dacă

g cd (a, n) = 1

Subgrup stabil și criteriu de subgrup

O submulțime nevidă \subseteq G$ este subgrup dacă $orall x, y \in H \implies x * y' \in H$.

Izomorfism de grupuri

Un morfism de grupuri bijectiv

f : (G_{1}, *) \to (G_{2}, \circ)

. Dacă există, grupurile se numesc izomorfe (

G_{1} ≃ G_{2}

Teorema lui Lagrange în teoria grupurilor

Dacă

H

este un subgrup al unui grup finit

G

, atunci ordinul lui

H

divide ordinul lui

G

∣ G ∣ = [G : H] \cdot ∣ H ∣

Derivata funcției inverse

f^{- 1}

Dacă

f

este bijectivă și derivabilă cu

f^{'} (x_{0}) \neq = 0

, atunci

(f^{- 1})^{'} (y_{0}) = \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )}

, unde

y_{0} = f (x_{0})

Derivata funcției compuse

(f \circ g)^{'}

(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

Ecuația asimptotei oblice

y = m x + n

m = lim_{x \to \pm \infty} \frac{f ( x )}{x}

(finit nenul) și

n = lim_{x \to \pm \infty} (f (x) - m x)

(finit).

Definiția punctului de inflexiune

Punctul

x_{0}

în care graficul funcției are tangentă și unde derivata a doua

f^{''}

își schimbă semnul (trecere convex/concav).

Concavitate și convexitate

Dacă

f^{''} (x) \geq 0

I

, funcția este convexă (graficul deasupra tangenței); dacă

f^{''} (x) \leq 0

, funcția este concavă.

Limită remarcabilă exponențială

lim_{x \to 0} \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1

și

lim_{x \to 0} \frac{a ^{x} - 1}{x} = ln a

pentru

a > 0, a \neq = 1

Limită remarcabilă logaritmică

lim_{x \to 0} \frac{l n ( 1 + x )}{x} = 1

Limită trigonometrică remarcabilă

lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1

și

lim_{x \to 0} \frac{a r c s i n x}{x} = 1

Teorema lui Fermat (extreme locale)

Fie

f : I \to R

și

x_{0} \in int (I)

. Dacă

x_{0}

este punct de extrem local și

f

este derivabilă în

x_{0}

, atunci

f^{'} (x_{0}) = 0

Teorema lui Darboux (valori intermediare)

Dacă : I o \mathbb{R}$ este derivabilă, atunci derivata '$ are proprietatea lui Darboux (nu sare peste valori).

Teorema lui Lagrange (creșteri finite)

Dacă

f

continuă pe

[a, b]

și derivabilă pe

(a, b)

, există

c \in (a, b)

a.î.

f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a)

Teorema lui Cauchy

Dacă

f, g

continue pe

[a, b]

, derivabile pe

(a, b)

g^{'} (x) \neq = 0

, există

c \in (a, b)

a.î.

\frac{f ( b ) - f ( a )}{g ( b ) - g ( a )} = \frac{f ^{'} ( c )}{g ^{'} ( c )}

Regula lui l'Hôpital

Pentru nedeterminări

\frac{0}{0}

\frac{\infty}{\infty}

: dacă

lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}

există, atunci

lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}

Formula schimbării de variabilă în integrala definită

\int_{a}^{b} f (u (x)) u^{'} (x) d x = \int_{u (a)}^{u (b)} f (t) d t

, unde

u

este derivabilă cu derivata continuă.

Formula de integrare prin părți pentru integrale definite

\int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x

Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz integrală

(\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x)^{2} \leq (\int_{a}^{b} f^{2} (x) d x) (\int_{a}^{b} g^{2} (x) d x)

Teorema de medie pentru calculul integral

Dacă

f : [a, b] \to R

este continuă, există

c \in [a, b]

astfel încât

\int_{a}^{b} f (x) d x = (b - a) f (c)

Numărul submulțimilor unei mulțimi finite

O mulțime cu

n

elemente are exact

2^{n}

submulțimi, dintre care

(k n)

au cardinalul

k

More Bacalaureat Național (Romania) practice

Other Bacalaureat Național (Romania) flashcard decks

Bacalaureat Național (Romania) mock tests

All Bacalaureat Național (Romania) practice →