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Baccalauréat Algérien Mathématiques: Résumés et Formules Essentielles

Formules fondamentales et théorèmes indispensables pour l'épreuve de mathématiques du Baccalauréat Algérien (filières Scientifique, Mathématiques et Maths-Technique).

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Suite arithmétique : terme général et somme

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Suite arithmétique : terme général et somme

Terme général :

u_{n} = u_{0} + n r

u_{n} = u_{p} + (n - p) r

. Somme des

n

premiers termes :

S_{n} = \frac{nombre de termes}{2} \times (premier terme + dernier terme) = \frac{n + 1}{2} (u_{0} + u_{n})

Suite géométrique : terme général, somme et convergence

Terme général :

u_{n} = u_{0} q^{n}

. Somme :

S_{n} = u_{0} \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}

(

q \neq = 1

). Limite : si

∣ q ∣ < 1

lim u_{n} = 0

; si

q > 1

u_{0} > 0

lim u_{n} = + \infty

; si

q \leq - 1

, la suite diverge.

Théorème de convergence monotone pour les suites

Toute suite réelle croissante et majorée est convergente. Toute suite réelle décroissante et minorée est convergente. Si une suite croissante n'est pas majorée, elle tend vers

+ \infty

Démonstration par récurrence : les trois étapes

1. Initialisation : vérifier que la propriété

P (n)

est vraie pour le premier rang

n_{0}

. 2. Hérédité : supposer que

P (k)

est vraie pour un certain

k \geq n_{0}

et démontrer que

P (k + 1)

est vraie. 3. Conclusion : par récurrence,

P (n)

est vraie pour tout

n \geq n_{0}

Limites usuelles et croissances comparées de l'exponentielle

lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty

;

lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0

;

lim_{x \to 0} \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1

. Croissances comparées :

lim_{x \to + \infty} \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty

lim_{x \to - \infty} x^{n} e^{x} = 0

(

n \in N^{*}

Limites usuelles et croissances comparées du logarithme népérien

lim_{x \to + \infty} ln x = + \infty

;

lim_{x \to 0^{+}} ln x = - \infty

;

lim_{x \to 0} \frac{l n ( 1 + x )}{x} = 1

. Croissances comparées :

lim_{x \to + \infty} \frac{l n x}{x ^{n}} = 0

lim_{x \to 0^{+}} x^{n} ln x = 0

(

n > 0

Dérivée des fonctions composées

e^{u (x)}

ln ∣ u (x) ∣

(e^{u (x)})^{'} = u^{'} (x) e^{u (x)}

(ln ∣ u (x) ∣)^{'} = \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )}

(sur tout intervalle où

u (x) \neq = 0

). De même,

(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}

Équation de la tangente à une courbe en un point

x_{0}

L'équation de la tangente

(T)

à la courbe

C_{f}

au point d'abscisse

x_{0}

est donnée par :

y = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})

. Le coefficient directeur est

f^{'} (x_{0})

Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) et corollaire

f

est continue sur

[a, b]

, pour tout réel

k

compris entre

f (a)

f (b)

, il existe au moins un

c \in [a, b]

tel que

f (c) = k

. Si de plus

f

est strictement monotone sur

[a, b]

, l'équation

f (x) = k

admet une unique solution dans

[a, b]

Tableau des primitives fondamentales

\int u^{'} u^{n} = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1} + C

(

n \neq = - 1

) ;

\int \frac{u ^{'}}{u} = ln ∣ u ∣ + C

;

\int u^{'} e^{u} = e^{u} + C

;

\int \frac{u ^{'}}{u} = 2 u + C

Calcul d'aire entre deux courbes par intégrale

f (x) \geq g (x)

pour tout

x \in [a, b]

, l'aire du domaine plan délimité par les deux courbes

C_{f}, C_{g}

et les droites

x = a, x = b

est :

A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x

(en unités d'aire).

Formule de l'intégration par parties

\int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x

, où

u

v

sont deux fonctions dérivables à dérivées continues sur

[a, b]

Nombres complexes : Forme algébrique, conjugué et module

Pour

z = x + i y

(

x, y \in R

) : conjugué

\overset{z}{ˉ} = x - i y

, module

∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}

. Propriétés :

z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2} = x^{2} + y^{2}

∣ z z^{'} ∣ = ∣ z ∣∣ z^{'} ∣

∣ z / z^{'} ∣ = ∣ z ∣/∣ z^{'} ∣

Argument et forme trigonométrique d'un nombre complexe

Pour

z \neq = 0

ar g (z) = θ (mod 2 π)

avec

cos θ = \frac{Re ( z )}{∣ z ∣}

sin θ = \frac{Im ( z )}{∣ z ∣}

. Forme trigonométrique :

z = ∣ z ∣ (cos θ + i sin θ) = ∣ z ∣ e^{i θ}

Résolution des équations du second degré dans

C

Pour

a z^{2} + b z + c = 0

(

a \neq = 0

) : discriminant

Δ = b^{2} - 4 a c

. Si

Δ < 0

réel : deux racines complexes conjuguées

z_{1, 2} = \frac{- b \pm i ∣Δ∣}{2 a}

Caractérisation géométrique des nombres complexes

Distance

A B = ∣ z_{B} - z_{A} ∣

. Angle orienté

(A B, A C) = ar g (\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}) (mod 2 π)

. Les points

A, B, C

sont alignés

⟺ \frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} \in R

(A B) ⊥ (A C) ⟺ \frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} \in i R^{*}

Produit scalaire dans l'espace et orthogonalité

Pour

u (x, y, z)

v (x^{'}, y^{'}, z^{'})

dans un repère orthonormé :

u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}

. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si

u \cdot v = 0

, soit

x x^{'} + y y^{'} + z z^{'} = 0

Équation cartésienne d'un plan dans l'espace

Tout plan

(P)

de vecteur normal

n (a, b, c) \neq = 0

admet une équation cartésienne de la forme

a x + b y + cz + d = 0

. La constante

d

est déterminée en remplaçant les coordonnées d'un point appartenant au plan.

Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace

La droite

(D)

passant par

A (x_{0}, y_{0}, z_{0})

et de vecteur directeur

u (a, b, c)

a pour système paramétrique :

⎩ ⎨ ⎧ x = x_{0} + a t y = y_{0} + b t z = z_{0} + c t

avec

t \in R

Distance d'un point à un plan dans l'espace

La distance d'un point

A (x_{A}, y_{A}, z_{A})

au plan

(P) : a x + b y + cz + d = 0

est :

d (A, (P)) = \frac{∣ a x _{A} + b y _{A} + c z _{A} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

Équation cartésienne d'une sphère dans l'espace

La sphère

(S)

de centre

Ω (a, b, c)

et de rayon

R > 0

a pour équation :

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

Dénombrement : Permutations et arrangements

Permutations de

n

éléments distincts :

n! = n (n - 1) \dots 1

. Arrangements de

k

éléments parmi

n

(l'ordre compte) :

A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!} = n (n - 1) \dots (n - k + 1)

Dénombrement : Combinaisons et triangle de Pascal

Combinaisons de

k

éléments parmi

n

(l'ordre ne compte pas) :

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

. Propriétés :

(k n) = (n - k n)

et formule de Pascal

(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1)

Probabilités conditionnelles et formule des probabilités totales

Probabilité conditionnelle :

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

(

P (B) > 0

). Si

(B_{1}, \dots, B_{n})

forme un système complet d'événements, alors

P (A) = \sum_{i = 1}^{n} P (B_{i}) P (A ∣ B_{i})

Loi binomiale

B (n, p)

: formule, espérance et variance

Soit

X \sim B (n, p)

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

pour

k \in {0, 1, \dots, n}

. Espérance mathématique :

E (X) = n p

. Variance :

V (X) = n p (1 - p)

Baccalauréat Algérien Mathématiques: Résumés et Formules Essentielles

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