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Baccalauréat Maroc Sciences Maths: Formules et Théorèmes Clés

Fiches de révision essentielles pour le Baccalauréat Sciences Mathématiques du Maroc : arithmétique, structures algébriques, analyse, nombres complexes et calcul intégral.

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Formule du binôme de Newton

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Formule du binôme de Newton

Pour tous réels ou complexes

a, b

n \in N

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) a^{n - k} b^{k}

. Les coefficients vérifient

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1)

Petit théorème de Fermat et théorème d'Euler

p

est premier et ne divise pas

a

, alors

a^{p - 1} \equiv 1 (mod p)

, et pour tout

a \in Z

a^{p} \equiv a (mod p)

. Généralisation d'Euler : si

g cd (a, n) = 1

, alors

a^{φ (n)} \equiv 1 (mod n)

Théorème de Bézout et théorème de Gauss

Bézout :

g cd (a, b) = d ⟺ \exists u, v \in Z, a u + b v = d

. En particulier,

a

b

sont premiers entre eux

⟺ \exists u, v \in Z, a u + b v = 1

. Gauss : si

a ∣ b c

g cd (a, b) = 1

, alors

a ∣ c

Structure de Groupe : Définition et axiomes

Un ensemble

G

muni d'une loi de composition interne

*

est un groupe si : 1)

*

est associative ; 2) il existe un élément neutre

e \in G

(

x * e = e * x = x

) ; 3) tout élément

x \in G

possède un symétrique

x^{'} \in G

(

x * x^{'} = x^{'} * x = e

Sous-groupe et Théorème de Lagrange

Critère de sous-groupe :

H

est un sous-groupe de

(G, *)

ssi

H \neq = \emptyset

\forall x, y \in H, x * y^{- 1} \in H

. Théorème de Lagrange : si

G

est un groupe fini, pour tout sous-groupe

H

G

, l'ordre de

H

divise l'ordre de

G

(

∣ H ∣ ∣ ∣ G ∣

Morphisme de groupes et noyau

f : (G, *) \to (G^{'}, ⊤)

est un morphisme si

\forall x, y \in G, f (x * y) = f (x) ⊤ f (y)

. Propriétés :

f (e) = e^{'}

f (x^{- 1}) = (f (x))^{- 1}

. Le noyau

ker f = {x \in G ∣ f (x) = e^{'}}

est un sous-groupe de

G

, et

f

est injectif

⟺ ker f = {e}

Forme trigonométrique et exponentielle d'un nombre complexe

Pour

z = a + ib \neq = 0

∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}

θ = ar g (z)

avec

cos θ = \frac{a}{∣ z ∣}, sin θ = \frac{b}{∣ z ∣}

. Forme trigonométrique :

z = r (cos θ + i sin θ)

. Forme exponentielle :

z = r e^{i θ}

Formule de Moivre et formules d'Euler

Moivre :

(cos θ + i sin θ)^{n} = cos (n θ) + i sin (n θ)

, soit

(e^{i θ})^{n} = e^{in θ}

. Euler :

cos θ = \frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2}

sin θ = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2 i}

Racines

n

-ièmes de l'unité

Les solutions de

z^{n} = 1

sont les

ω_{k} = e^{i \frac{2 k π}{n}}

pour

k \in {0, 1, \dots, n - 1}

. Elles forment un groupe cyclique d'ordre

n

. Leur somme est nulle :

\sum_{k = 0}^{n - 1} ω_{k} = 0

pour tout

n \geq 2

Écriture complexe des transformations du plan

Translation de vecteur

u (b)

z^{'} = z + b

. Homothétie de centre

Ω (ω)

et rapport

k \in R^{*}

z^{'} - ω = k (z - ω)

. Rotation de centre

Ω (ω)

et angle

θ

z^{'} - ω = e^{i θ} (z - ω)

. Similitude directe :

z^{'} = a z + b

avec

a \neq = 0

Théorème de Rolle

Soit

f : [a, b] \to R

une fonction continue sur

[a, b]

, dérivable sur

] a, b [

telle que

f (a) = f (b)

. Alors il existe au moins un réel

c \in] a, b [

tel que

f^{'} (c) = 0

Théorème des Accroissements Finis (TAF)

Soit

f

continue sur

[a, b]

et dérivable sur

] a, b [

. Il existe au moins un réel

c \in] a, b [

tel que

f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a)

, c'est-à-dire

f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}

Règle de L'Hôpital pour les formes indéterminées

Pour les formes indéterminées

\frac{0}{0}

\frac{\pm \infty}{\pm \infty}

: si

lim_{x \to x_{0}} \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )} = L

(fini ou infini), alors

lim_{x \to x_{0}} \frac{f ( x )}{g ( x )} = L

(sous réserve de dérivabilité de

f, g

au voisinage de

x_{0}

g^{'} \neq = 0

Convexité et point d'inflexion

Une fonction deux fois dérivable

f

est convexe sur

I

⟺ f^{''} (x) \geq 0

pour tout

x \in I

(sa courbe est au-dessus de ses tangentes). Elle est concave

⟺ f^{''} (x) \leq 0

. Un point

x_{0}

où

f^{''}

s'annule en changeant de signe est un point d'inflexion.

Branches infinies et asymptotes obliques

lim_{x \to \pm \infty} f (x) = \pm \infty

: on calcule

a = lim_{x \to \pm \infty} \frac{f ( x )}{x}

. Si

a \in R^{*}

, on calcule

b = lim_{x \to \pm \infty} (f (x) - a x)

. Si

b \in R

y = a x + b

est asymptote oblique. Si

b = \pm \infty

, branche parabolique de direction

y = a x

Dérivée de la fonction réciproque

f^{- 1}

f

est une bijection continue et strictement monotone sur

I

, et si

f

est dérivable en

x_{0}

avec

f^{'} (x_{0}) \neq = 0

, alors

f^{- 1}

est dérivable en

y_{0} = f (x_{0})

et :

(f^{- 1})^{'} (y_{0}) = \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( y _{0} ))}

Dérivation des fonctions usuelles et composition

(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}

(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}

(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}

(ln ∣ u ∣)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}

(sin u)^{'} = u^{'} cos u

(cos u)^{'} = - u^{'} sin u

(arctan u)^{'} = \frac{u ^{'}}{1 + u ^{2}}

Dérivation d'une intégrale à bornes variables

Soit

F (x) = \int_{u (x)}^{v (x)} f (t) d t

avec

f

continue et

u, v

dérivables. Alors

F^{'} (x) = f (v (x)) v^{'} (x) - f (u (x)) u^{'} (x)

Intégration par parties (IPP)

Pour

u, v

de classe

C^{1}

sur

[a, b]

\int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x

Changement de variable dans une intégrale définie

Soit

ϕ : [α, β] \to [a, b]

une bijection de classe

C^{1}

telle que

ϕ (α) = a

ϕ (β) = b

, et

f

continue sur

[a, b]

. En posant

x = ϕ (t)

d x = ϕ^{'} (t) d t

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (ϕ (t)) ϕ^{'} (t) d t

Valeur moyenne d'une fonction continue

La valeur moyenne d'une fonction

f

continue sur

[a, b]

(

a < b

) est donnée par

μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

. D'après le théorème de la moyenne, il existe au moins un

c \in [a, b]

tel que

f (c) = μ

Équation différentielle linéaire du 1er ordre

Pour

y^{'} + a (x) y = 0

, la solution générale est

y (x) = C e^{- A (x)}

, où

A (x) = \int a (x) d x

C \in R

. Avec second membre

y^{'} + a (x) y = b (x)

, la solution générale est

y = y_{h} + y_{p}

(obtenue par variation de la constante).

Équation différentielle linéaire homogène du 2nd ordre

a y^{''} + b y^{'} + cy = 0

Équation caractéristique

a r^{2} + b r + c = 0

: si

Δ > 0

y = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}

; si

Δ = 0

y = (C_{1} x + C_{2}) e^{r x}

; si

Δ < 0

(

r = α \pm i β

) :

y = e^{α x} (C_{1} cos (β x) + C_{2} sin (β x))

Produit vectoriel dans

R^{3}

et propriétés

u \land v = (u_{y} v_{z} - u_{z} v_{y}, u_{z} v_{x} - u_{x} v_{z}, u_{x} v_{y} - u_{y} v_{x})

. Propriétés :

u \land v = - (v \land u)

;

u \land v = 0 ⟺ u

v

sont colinéaires ;

∥ u \land v ∥ = ∥ u ∥∥ v ∥ sin θ

(aire du parallélogramme).

Distance d'un point à un plan dans l'espace

La distance d'un point

M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})

au plan

(P)

d'équation

a x + b y + cz + d = 0

est donnée par :

d (M_{0}, (P)) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

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