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25 cardsBachillerato & UDELAR (Uruguay)

Bachillerato Uruguay: Teoremas, Cálculo y Geometría Analítica

Teoremas fundamentales de límites y cálculo, polinomios, funciones racionales, geometría analítica en el espacio y probabilidad para el Bachillerato Diversificado de Uruguay.

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Regla de Ruffini y Teorema del Resto

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Regla de Ruffini y Teorema del Resto

Al dividir un polinomio

P (x)

por

(x - a)

, el resto numérico es igual al valor numérico del polinomio evaluado en

a

R = P (a)

(x - a)

divide a

P (x) ⟺ P (a) = 0

Relaciones de Cardano-Viète para Ecuaciones Polinómicas

Para

a x^{2} + b x + c = 0

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

. Para grado 3: suma

= - \frac{b}{a}

, suma de productos dobles

= \frac{c}{a}

, producto

= - \frac{d}{a}

Dominio de Funciones Racionales y con Radicales

Para

f (x) = \frac{P ( x )}{Q ( x )}

D = R ∖ {x : Q (x) = 0}

. Para

g (x) = h (x)

D = {x \in R : h (x) \geq 0}

Definición Formal de Límite Finito en un Punto (Cauchy)

lim_{x \to a} f (x) = L ⟺ \forall ε > 0, \exists δ > 0 : 0 < ∣ x - a ∣ < δ ⟹ ∣ f (x) - L ∣ < ε

Límites Notables Trigonométricos y Exponenciales

lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1

lim_{x \to 0} \frac{1 - c o s x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}

lim_{x \to 0} \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1

lim_{x \to 0} \frac{l n ( 1 + x )}{x} = 1

Asíntotas Verticales, Horizontales y Oblicuas

A.V.:

x = a

lim_{x \to a^{\pm}} f (x) = \pm \infty

. A.H.:

y = b

lim_{x \to \pm \infty} f (x) = b

. A.O.:

y = m x + n

con

m = lim \frac{f ( x )}{x}

n = lim (f (x) - m x)

Teorema de Bolzano (Existencia de Raíces)

f : [a, b] \to R

es continua y

f (a) \cdot f (b) < 0

, entonces existe al menos un punto interior

c \in (a, b)

tal que

f (c) = 0

Teorema de Weierstrass (Extremos Absolutos)

Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado

[a, b]

alcanza un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en dicho intervalo.

Definición de Derivada en un Punto

f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} = lim_{x \to a} \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}

. Representa geométricamente la pendiente de la recta tangente en

(a, f (a))

Reglas de Derivación: Producto y Cociente

(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

(

v \neq = 0

). Regla de la cadena:

(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

Teorema de Rolle

f

es continua en

[a, b]

, derivable en

(a, b)

f (a) = f (b)

, existe al menos un

c \in (a, b)

tal que

f^{'} (c) = 0

Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial (Lagrange)

f

es continua en

[a, b]

y derivable en

(a, b)

, existe

c \in (a, b)

tal que

\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} = f^{'} (c)

Criterio de la Primera Derivada para Extremos Locales

f^{'}

pasa de positiva a negativa al cruzar

x_{0}

x_{0}

es un máximo local. Si pasa de negativa a positiva, es un mínimo local.

Criterio de la Segunda Derivada (Concavidad e Inflexión)

f^{''} (x) > 0 ⟹

función cóncava hacia arriba (convexa).

f^{''} (x) < 0 ⟹

cóncava hacia abajo. Cambio de signo de

f^{''} ⟹

punto de inflexión.

Regla de L'Hôpital para Indeterminaciones

Para formas

\frac{0}{0}

\frac{\infty}{\infty}

con funciones derivables:

lim_{x \to a} \frac{f ( x )}{g ( x )} = lim_{x \to a} \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}

, siempre que este último límite exista.

Regla de Barrow (Teorema Fundamental del Cálculo Integral)

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

, donde

F

es una función primitiva continua de

f

(

F^{'} (x) = f (x)

Integración por Partes

\int u d v = uv - \int v d u

. Útil para productos de funciones algebraicas, trigonométricas, exponenciales o logarítmicas.

Cálculo de Área entre Curvas

Área

= \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x

. Si

f (x) \geq g (x)

[a, b]

, Área

= \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x

Producto Escalar y Vectorial en

R^{3}

u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3} = ∣ u ∣∣ v ∣ cos θ

u \times v

es perpendicular a ambos, con magnitud

∣ u \times v ∣ = ∣ u ∣∣ v ∣ sin θ

(área del paralelogramo).

Ecuación del Plano en el Espacio

A x + B y + C z + D = 0

. El vector

n = (A, B, C)

es ortogonal al plano.

Distancia de un Punto a un Plano

d (P, π) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}

, para el punto

P (x_{0}, y_{0}, z_{0})

y plano

π : A x + B y + C z + D = 0

Posición Relativa de Recta y Plano

Sea

d

vector director de

r

n

normal de

π

r ∥ π ⟺ d \cdot n = 0

;

r ⊥ π ⟺ d ∥ n

Probabilidad Clásica de Laplace y Probabilidad Condicionada

P (A) = \frac{Casos Favorables}{Casos Posibles}

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

(

P (B) > 0

Independencia de Sucesos

A

B

son independientes si y solo si

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

. En tal caso,

P (A ∣ B) = P (A)

Varianza y Desviación Estándar

Varianza

σ^{2} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2} = (\frac{1}{N} \sum x_{i}^{2}) - \overset{x}{ˉ}^{2}

. Desviación estándar

σ = σ^{2}

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