All flashcard decks Državna Matura (Serbia) syllabus →

52 cardsDržavna Matura (Serbia)

Државна Матура Математика: Кључне формуле и теореме

Преглед формула, тригонометријских релација, аналитичке геометрије и комбинаторике за Државну матуру из математике у Србији.

Start studying Play Match

PDF study sheet

Free account needed to save, copy or download. We bring you back here.

1 / 52

0 known

TermClick or press Space to flip

Квадратна једначина и дискриминанта

GetMyMockTestQuestion side

Full list

Terms in this deck (52)

Državna Matura (Serbia) mock tests →

Квадратна једначина и дискриминанта

За

a x^{2} + b x + c = 0

(

a \neq = 0

): дискриминанта

D = b^{2} - 4 a c

. Решења:

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

. Ако је

D > 0

: два реална и различита решења;

D = 0

: једно двоструко реално решење;

D < 0

: пар конјуговано-комплексних решења.

Виетове формуле за квадратну једначину

За корене

x_{1}, x_{2}

квадратне једначине

a x^{2} + b x + c = 0

важи:

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

. Такође важи:

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}

Важни алгебарски идентитети

(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

(a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}

a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})

Комплексни бројеви: алгебарски облик, конјуговање и модуо

За

z = x + i y

(

x, y \in R

): конјуговани број

\overset{z}{ˉ} = x - i y

, модуо

∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}

. Особине:

z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2} = x^{2} + y^{2}

∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣∣ z_{2} ∣

∣ z_{1} / z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣/∣ z_{2} ∣

Особине логаритама и формула промене основе

lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y

lo g_{a} (\frac{x}{y}) = lo g_{a} x - lo g_{a} y

lo g_{a} (x^{k}) = k lo g_{a} x

lo g_{a} a = 1, lo g_{a} 1 = 0

. Промена основе:

lo g_{a} b = \frac{l o g _{c} b}{l o g _{c} a}

Аритметички низ: општи члан и збир

Општи члан:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

. Збир првих

n

чланова:

S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) d)

Геометријски низ: општи члан и збир

Општи члан:

b_{n} = b_{1} q^{n - 1}

. Збир првих

n

чланова (

q \neq = 1

S_{n} = b_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1} = b_{1} \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}

Збир бесконачног геометријског реда

Ред конвергира ако и само ако је

∣ q ∣ < 1

. Његов збир је:

S = \frac{b _{1}}{1 - q}

Питагорина и Еуклидове теореме у правоуглом троуглу

Питагора:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

. Висина:

h_{c}^{2} = p \cdot q

(где су

p, q

одсечци хипотенузе). Катете:

a^{2} = c \cdot p

b^{2} = c \cdot q

Синусна и косинусна теорема у троуглу

Синусна теорема:

\frac{a}{s i n α} = \frac{b}{s i n β} = \frac{c}{s i n γ} = 2 R

(

R

је полупречник описаног круга). Косинусна теорема:

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ

Обрасци за површину троугла

P = \frac{a h _{a}}{2} = \frac{1}{2} ab sin γ = \frac{ab c}{4 R} = r \cdot s = s (s - a) (s - b) (s - c)

(Херонов образац, где је

s = \frac{a + b + c}{2}

r

полупречник уписаног круга).

Кружница и круг: обим, површина и кружни исечак

Обим кружнице:

O = 2 π r = π d

. Површина круга:

P = π r^{2}

. Дужина кружног лука:

l = \frac{2 π r α}{36 0 ^{\circ}}

. Површина кружног исечка:

P_{i} = \frac{π r ^{2} α}{36 0 ^{\circ}} = \frac{l r}{2}

Запремина и површина купе, ваљка и лопте

Ваљак:

V = π r^{2} H, P = 2 π r (r + H)

. Купа:

V = \frac{1}{3} π r^{2} H, P = π r (r + s)

(

s = r^{2} + H^{2}

). Лопта:

V = \frac{4}{3} π r^{3}, P = 4 π r^{2}

Једначина праве у равни

Експлицитни облик:

y = k x + n

(где је

k = tg ϕ = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

коефицијент правца). Општи облик:

A x + B y + C = 0

са вектором нормале

n = (A, B)

Растојање тачке

M (x_{0}, y_{0})

од праве

A x + B y + C = 0

d (M, p) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}

Једначина кружнице и услов додира са правом

Једначина кружнице са центром

C (p, q)

и полупречником

r

(x - p)^{2} + (y - q)^{2} = r^{2}

. Услов додира праве

y = k x + n

и кружнице

x^{2} + y^{2} = r^{2}

гласи:

r^{2} (1 + k^{2}) = n^{2}

Скаларни производ вектора и услов ортогоналности

a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = ∣ a ∣∣ b ∣ cos ϕ

. Вектори су нормални (ортогонални) ако и само ако је

a \cdot b = 0

, односно

a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = 0

Основне тригонометријске релације

sin^{2} x + cos^{2} x = 1

tg x = \frac{s i n x}{c o s x}

ctg x = \frac{c o s x}{s i n x}

tg x \cdot ctg x = 1

1 + tg^{2} x = \frac{1}{c o s ^{2} x}

Формуле двоструког угла у тригонометрији

sin 2 x = 2 sin x cos x

cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1 = 1 - 2 sin^{2} x

tg 2 x = \frac{2 tg x}{1 - tg ^{2} x}

Основна правила диференцирања функција

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

(c f)^{'} = c f^{'}

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

, извод производа:

(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}

, извод количника:

(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}

, извод сложене функције:

(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

Геометријски смисао првог извода и тангента

Коефицијент правца тангенте на криву

y = f (x)

у тачки

x_{0}

је

k = f^{'} (x_{0})

. Једначина тангенте гласи:

y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

Њутн-Лајбницова формула за одређени интеграл

Ако је

f

непрекидна на

[a, b]

F

њена примитивна функција (

F^{'} = f

), тада је:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Комбинаторика без понављања: Пермутације, варијације и комбинације

Пермутације:

P_{n} = n!

. Варијације:

V_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}

. Комбинације:

C_{n}^{k} = (k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

. Биномни образац:

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) a^{n - k} b^{k}

Класична дефиниција вероватноће и супротан догађај

P (A) = \frac{m}{n} = \frac{број повољних исхода}{број свих могућих исхода}

. За супротан догађај:

P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)

. За произвољне догађаје:

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

Бернулијева формула за биномну вероватноћу

Вероватноћа да се у

n

независних понављања експеримента догађај са вероватноћом

p

реализује тачно

k

пута износи:

P_{n} (k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

Експоненцијална функција: особине степена

За

a > 0, a \neq = 1

a^{x + y} = a^{x} a^{y}

a^{x - y} = \frac{a ^{x}}{a ^{y}}

(a^{x})^{y} = a^{x y}

(ab)^{x} = a^{x} b^{x}

. Функција је строго растућа за

a > 1

, а строго опадајућа за

0 < a < 1

Тригонометрија: адиционе формуле за синус и косинус

sin (α \pm β) = sin α cos β \pm cos α sin β

cos (α \pm β) = cos α cos β \mp sin α sin β

Тригонометрија: трансформација збира у производ

sin α + sin β = 2 sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}

cos α + cos β = 2 cos \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}

Тригонометрија: формуле полуугла

sin^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 - c o s x}{2}

cos^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 + c o s x}{2}

tg^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 - c o s x}{1 + c o s x}

Елипса: канонска једначина и нумерички ексцентрицитет

Једначина:

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

(

a > b > 0

). Фокусна раздаљина:

c = a^{2} - b^{2}

. Жиже:

F_{1, 2} (\mp c, 0)

. Ексцентрицитет:

e = \frac{c}{a} < 1

Хипербола: канонска једначина и асимптоте

Једначина:

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

. Линеарни ексцентрицитет:

c = a^{2} + b^{2}

. Жиже:

F_{1, 2} (\mp c, 0)

. Асимптоте:

y = \pm \frac{b}{a} x

Парабола: канонска једначина, жижа и директриса

Једначина:

y^{2} = 2 p x

(

p > 0

). Жижа је тачка

F (\frac{p}{2}, 0)

, а једначина директрисе је права

x = - \frac{p}{2}

Планиметрија: особине тетивног и тангентног четвороугла

Тетивни: четвороугао око кога се може описати круг; збир наспрамних углова је

18 0^{\circ}

(

α + γ = β + δ = 18 0^{\circ}

). Тангентни: збирови наспрамних страница су једнаки (

a + c = b + d

Планиметрија: Талесова теорема о пропорционалности

Паралелне праве на крацима угла одсецају пропорционалне дужи:

\frac{A B}{B C} = \frac{A _{1} B _{1}}{B _{1} C _{1}}

Планиметрија: централни и периферијски угао кружнице

Периферијски угао над кружним луком једнак је половини одговарајућег централног угла над истим луком:

α = \frac{1}{2} ω

. Сви периферијски углови над истим луком су једнаки.

Планиметрија: правилни шестоугао

Правилни шестоугао се састоји од шест једнакостраничних троуглова странице

a

. Површина:

P = \frac{3 a ^{2} 3}{2}

. Полупречник описаног круга

R = a

, а уписаног

r = \frac{a 3}{2}

Стереометрија: правилни тетраедар

Све ивице су једнаке

a

. Површина:

P = a^{2} 3

. Висина:

H = \frac{a 6}{3}

. Запремина:

V = \frac{a ^{3} 2}{12}

Стереометрија: зарубљена купа

За полупречнике основа

R

r

и висину

H

: запремина

V = \frac{1}{3} π H (R^{2} + R r + r^{2})

. Површина омотача:

M = π (R + r) s

где је изводница

s = H^{2} + (R - r)^{2}

Математичка анализа: важне граничне вредности

lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1

lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n} = e

lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/ x} = e

lim_{x \to 0} \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1

lim_{x \to 0} \frac{l n ( 1 + x )}{x} = 1

Математичка анализа: изводи тригонометријских функција

(sin x)^{'} = cos x

(cos x)^{'} = - sin x

(tg x)^{'} = \frac{1}{c o s ^{2} x}

(ctg x)^{'} = - \frac{1}{s i n ^{2} x}

Математичка анализа: изводи експоненцијалне и логаритамске функције

(e^{x})^{'} = e^{x}

(a^{x})^{'} = a^{x} ln a

(ln x)^{'} = \frac{1}{x}

(lo g_{a} x)^{'} = \frac{1}{x l n a}

(

x > 0

Математичка анализа: Лопиталово правило

Ако је

lim_{x \to a} \frac{f ( x )}{g ( x )}

неодређеног облика

\frac{0}{0}

или

\frac{\infty}{\infty}

, онда је:

lim_{x \to a} \frac{f ( x )}{g ( x )} = lim_{x \to a} \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}

, под условом да гранична вредност извода постоји.

Математичка анализа: конкавност, конвексност и превојне тачке

Ако је

f^{''} (x) > 0

на интервалу, функција је конвексна (извијена надоле). Ако је

f^{''} (x) < 0

, конкавна је. Тачка

x_{0}

у којој

f^{''} (x_{0}) = 0

и други извод мења знак је превојна тачка (тачка инфлексије).

Математичка анализа: парцијална интеграција

Формула парцијалне интеграције:

\int u d v = uv - \int v d u

. Погодна за интеграле облика

\int P (x) e^{a x} d x

\int P (x) sin (a x) d x

\int P (x) ln x d x

Математичка анализа: неодређени интеграли основних функција

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C

(

n \neq = - 1

\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C

\int e^{x} d x = e^{x} + C

\int sin x d x = - cos x + C

\int cos x d x = sin x + C

Комбинаторика: особине биномних коефицијената

Симетрија:

(k n) = (n - k n)

. Сабирање:

(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1)

. Збир свих биномних коефицијената:

\sum_{k = 0}^{n} (k n) = 2^{n}

Вероватноћа: условна вероватноћа и независност догађаја

Условна вероватноћа:

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

(

P (B) > 0

). Догађаји

A

B

су независни ако и само ако важи:

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

Алгебра: Безуов став о дељивости полинома

Остатак при дељењу полинома

P (x)

полиномом

x - a

једнак је

P (a)

. Полином

P (x)

је дељив са

x - a

ако и само ако је

P (a) = 0

, односно ако је

a

корен тог полинома.

Вектори: векторски производ у простору

Векторски производ

a \times b

је вектор нормалан на раван одређену векторима

a

b

, смера десног завртња, интензитета

∣ a \times b ∣ = ∣ a ∣∣ b ∣ sin ϕ

(површина паралелограма).

Алгебра: неједнакост аритметичке и геометријске средине (А-Г неједнакост)

За ненегативне реалне бројеве

a, b \geq 0

увек важи:

\frac{a + b}{2} \geq ab

. Једнакост важи ако и само ако је

a = b

Тригонометрија: основне вредности углова

3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

;

sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

;

sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}, cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

tg 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}, tg 4 5^{\circ} = 1, tg 6 0^{\circ} = 3

Стереометрија: Ојлерова формула за конвексне полиедре

За сваки конвексан полиедар важи релација између броја темена (

T

), броја ивица (

I

) и броја пљосни (

P

T - I + P = 2

More Državna Matura (Serbia) practice

Državna Matura (Serbia) mock tests

All Državna Matura (Serbia) practice →