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52 cardsMaturität / Maturité (Switzerland)

Maturität Mathe: Vektoren & Analysis

52 Formeln und Theoreme zu Analysis, Vektorgeometrie im dreidimensionalen Raum, Kombinatorik und Stochastik für die Schweizer gymnasiale Maturität.

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Ableitungsregeln: Produkt- und Quotientenregel

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Ableitungsregeln: Produkt- und Quotientenregel

(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

;

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

(

v \neq = 0

Kettenregel der Differentialrechnung

(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

, wobei

g^{'} (x)

die innere Ableitung und

f^{'}

die äussere Ableitung ist.

Kurvendiskussion: Kriterien für Extrempunkte und Wendepunkte

Lokales Maximum:

f^{'} (x_{0}) = 0

und

f^{''} (x_{0}) < 0

. Lokales Minimum:

f^{'} (x_{0}) = 0

und

f^{''} (x_{0}) > 0

. Wendepunkt:

f^{''} (x_{0}) = 0

mit Vorzeichenwechsel von

f^{''}

bei

x_{0}

Regel von de L'Hôpital

Für Grenzwerte der unbestimmten Formen

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

lim_{x \to x_{0}} \frac{f ( x )}{g ( x )} = lim_{x \to x_{0}} \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}

, falls der rechtsseitige Grenzwert existiert.

Newton-Verfahren zur Nullstellenannäherung

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )}

(

f^{'} (x_{n}) \neq = 0

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

f

stetig auf

[a, b]

und

F

eine Stammfunktion (

F^{'} = f

), so gilt

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

. Zudem gilt

\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)

Partielle Integration (unbestimmt und bestimmt)

\int u (x) v^{'} (x) d x = u (x) v (x) - \int u^{'} (x) v (x) d x

. Für bestimmte Integrale:

[u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x

Integrationsmethode der linearen und nichtlinearen Substitution

\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int f (u) d u

mit

u = g (x)

und

d u = g^{'} (x) d x

Rotationsvolumen um die x-Achse

V = π \int_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x

bei Rotation des Graphen von

y = f (x)

um die

x

-Achse.

Bogenlänge einer ebenen Kurve

L = \int_{a}^{b} 1 + [f^{'} (x)]^{2} d x

für stetig differenzierbares

f

auf

[a, b]

Uneigentliche Integrale über unbeschränkte Intervalle

\int_{a}^{\infty} f (x) d x = lim_{b \to \infty} \int_{a}^{b} f (x) d x

. Das Integral konvergiert, falls der Grenzwert endlich existiert.

Skalarprodukt und Orthogonalitätskriterium in

R^{3}

a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = ∣ a ∣∣ b ∣ cos ϕ

. Vektoren

a, b \neq = 0

stehen senkrecht zueinander

⟺ a \cdot b = 0

Vektorprodukt (Kreuzprodukt) in

R^{3}

a \times b = a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}

. Steht orthogonal auf

a

und

b

mit Betrag

∣ a \times b ∣ = ∣ a ∣∣ b ∣ sin ϕ

Spatprodukt und geometrische Bedeutung

Spatprodukt

(a \times b) \cdot c = det (a, b, c)

. Das Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds (Spat) ist

V = ∣ (a \times b) \cdot c ∣

Hessesche Normalenform der Ebene

E : \frac{a x + b y + cz - d}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}} = 0

. Der Abstand eines Punktes

P (x_{0}, y_{0}, z_{0})

zur Ebene beträgt

d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} - d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

Abstand zweier windschiefer Geraden im Raum

d = \frac{∣ ( p _{2} - p _{1} ) \cdot ( u _{1} \times u _{2} ) ∣}{∣ u _{1} \times u _{2} ∣}

, wobei

p_{1}, p_{2}

Stützvektoren und

u_{1}, u_{2}

Richtungsvektoren sind.

Kugelgleichung und Lagebeziehung Kugel-Ebene

(x - x_{M})^{2} + (y - y_{M})^{2} + (z - z_{M})^{2} = R^{2}

. Ist der Abstand

d

des Mittelpunkts

M

zur Ebene

< R

, so schneiden sie sich in einem Kreis mit Radius

ρ = R^{2} - d^{2}

Kombinatorik: Permutationen und Kombinationen

Permutationen von

n

unterscheidbaren Elementen:

n!

. Kombinationen (ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge):

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

Binomialkoeffizienten und Pascalsches Dreieck

(k n) = (n - k n)

und

(k n + 1) = (k - 1 n) + (k n)

. Summe aller Koeffizienten einer Zeile:

\sum_{k = 0}^{n} (k n) = 2^{n}

Binomialverteilung: Wahrscheinlichkeitsfunktion und Kennwerte

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

für

k = 0, 1, \dots, n

. Erwartungswert

μ = n p

; Varianz

σ^{2} = n p (1 - p)

Satz von Bayes für bedingte Wahrscheinlichkeiten

P (A_{i} ∣ B) = \frac{P ( B ∣ A _{i} ) \cdot P ( A _{i} )}{\sum _{j = 1}^{n} P ( B ∣ A _{j} ) \cdot P ( A _{j} )}

, wobei

{A_{1}, \dots, A_{n}}

eine vollständige Zerlegung bildet.

Standardnormalverteilung und z-Transformation

Für

X \sim N (μ, σ^{2})

ist

Z = \frac{X - μ}{σ} \sim N (0, 1)

. Wichtige Intervalle:

P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 68.3%

P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 95.4%

Geometrische Reihe: Konvergenz und Grenzwert

\sum_{k = 0}^{\infty} q^{k} = \frac{1}{1 - q}

genau dann, wenn

∣ q ∣ < 1

. Für

∣ q ∣ \geq 1

divergiert die Reihe.

Taylor-Polynom

n

-ten Grades um den Entwicklungspunkt

x_{0}

T_{n} (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f ^{''} ( x _{0} )}{2 !} (x - x_{0})^{2} + \dots + \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n}

Komplexe Zahlen: Eulersche Formel und Polardarstellung

z = a + bi = r (cos ϕ + i sin ϕ) = r e^{i ϕ}

, wobei

r = ∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}

und

tan ϕ = \frac{b}{a}

. Es gilt

e^{iπ} + 1 = 0

Ableitungen trigonometrischer Funktionen

(sin x)^{'} = cos x

;

(cos x)^{'} = - sin x

;

(tan x)^{'} = \frac{1}{c o s ^{2} x} = 1 + tan^{2} x

Ableitungen der Exponential- und Logarithmusfunktionen

(e^{x})^{'} = e^{x}

;

(a^{x})^{'} = a^{x} ln a

;

(ln x)^{'} = \frac{1}{x}

;

(lo g_{a} x)^{'} = \frac{1}{x l n a}

für

x > 0

Logarithmische Differentiation

Methode für Ausdrücke der Form

y = f (x)^{g (x)}

: Beidseitig

ln

anwenden:

ln y = g (x) \cdot ln f (x)

, dann implizit nach

x

ableiten.

Kurvendiskussion: Kriterium für Sattelpunkte (Terrassenpunkte)

Ein Punkt

(x_{0}, f (x_{0}))

ist ein Sattelpunkt, wenn

f^{'} (x_{0}) = 0

und

f^{''} (x_{0}) = 0

mit Vorzeichenwechsel von

f^{''}

bei

x_{0}

gilt (Wendepunkt mit waagrechter Tangente).

Asymptoten gebrochen-rationaler Funktionen

f (x) = \frac{P ( x )}{Q ( x )}

Senkrecht bei Nullstellen des Nenners (Polstellen). Waagrecht für

de g (P) \leq de g (Q)

. Schiefe Asymptote für

de g (P) = de g (Q) + 1

(berechenbar über Polynomdivision).

Symmetrie von Funktionsgraphen

Achsensymmetrie zur

y

-Achse:

f (- x) = f (x)

für alle

x

. Punktsymmetrie zum Ursprung:

f (- x) = - f (x)

für alle

x

Stammfunktionen spezieller Brüche und logarithmische Integration

\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C

;

\int \frac{1}{a x + b} d x = \frac{1}{a} ln ∣ a x + b ∣ + C

;

\int \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} d x = ln ∣ f (x) ∣ + C

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Für stetiges

f

auf

[a, b]

existiert ein

ξ \in [a, b]

mit

\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x = f (ξ)

(mittlerer Funktionswert).

Grundintegrale trigonometrischer Funktionen

\int sin x d x = - cos x + C

;

\int cos x d x = sin x + C

;

\int \frac{1}{c o s ^{2} x} d x = tan x + C

Parameterform einer Geraden im Raum

g : x = p + t \cdot u

(

t \in R

), wobei

p

der Stützvektor und

u \neq = 0

der Richtungsvektor ist.

Lagebeziehungen zweier Geraden im Raum

Parallel (Richtungsvektoren kollinear: entweder identisch oder echt parallel) oder nicht-parallel (schneidend mit Schnittpunkt oder windschief ohne gemeinsamen Punkt).

Parameterform einer Ebene im Raum

E : x = p + s \cdot u + t \cdot v

(

s, t \in R

), wobei die Richtungsvektoren

u, v

linear unabhängig sein müssen.

Normalen- und Koordinatenform einer Ebene

Normalenform:

(x - p) \cdot n = 0

. Koordinatenform:

a x + b y + cz = d

, wobei

n = a b c

der Normalenvektor ist.

Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene

sin α = \frac{∣ u \cdot n ∣}{∣ u ∣∣ n ∣}

, wobei

u

der Richtungsvektor der Geraden und

n

der Normalenvektor der Ebene ist.

Schnittwinkel zweier Ebenen

cos α = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣∣ n _{2} ∣}

, bestimmt über den spitzen Winkel zwischen ihren Normalenvektoren.

Abstand eines Punktes von einer Geraden im Raum

d (P, g) = \frac{∣ ( p - r _{0} ) \times u ∣}{∣ u ∣}

, wobei

r_{0}

ein Punkt auf

g

und

u

der Richtungsvektor ist.

Spiegelung eines Punktes an einer Ebene

Lotgerade durch

P

mit Richtungsvektor

n

aufstellen, Schnittpunkt

L

(Lotfuss) mit der Ebene berechnen; Spiegelpunkt:

P^{'} = P + 2 (L - P)

Dreiecksfläche im Raum mittels Vektorprodukt

A_{Δ} = \frac{1}{2} ∣ A B \times A C ∣

, entspricht der halben Fläche des aufgespannten Parallelogramms.

Tetraedervolumen im Raum mittels Spatprodukt

V_{T e t r a e d er} = \frac{1}{6} ∣ (A B \times A C) \cdot A D ∣

Variationen mit und ohne Wiederholung

Ohne Wiederholung (geordnete Stichprobe):

\frac{n !}{( n - k )!}

. Mit Wiederholung:

n^{k}

Permutationen mit Wiederholung (Multinomialkoeffizient)

\frac{n !}{k _{1} ! \cdot k _{2} ! \cdot \dots \cdot k _{m} !}

, wobei

k_{1} + \dots + k_{m} = n

die Häufigkeiten identischer Elemente sind.

Additionsregel für beliebige Ereignisse

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

. Für disjunkte Ereignisse (

A \cap B = \emptyset

) gilt

P (A \cup B) = P (A) + P (B)

Stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse

A

und

B

sind stochastisch unabhängig

⟺ P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B) ⟺ P (A ∣ B) = P (A)

(für

P (B) > 0

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

P (B) = \sum_{i = 1}^{n} P (B ∣ A_{i}) \cdot P (A_{i})

für eine vollständige Zerlegung des Ergebnisraums in paarweise disjunkte Ereignisse

A_{i}

Fehler 1. und 2. Art beim Hypothesentest

Fehler 1. Art (

α

-Fehler):

H_{0}

wird irrtümlich abgelehnt, obwohl sie wahr ist. Fehler 2. Art (

β

-Fehler):

H_{0}

wird beibehalten, obwohl sie falsch ist.

Poisson-Verteilung: Definition und Parameter

P (X = k) = \frac{λ ^{k}}{k !} e^{- λ}

für

k = 0, 1, 2, \dots

. Erwartungswert und Varianz stimmen überein:

μ = λ

und

σ^{2} = λ

Gaußsches Eliminationsverfahren für LGS

Systematische Umformung der erweiterten Koeffizientenmatrix in Stufenform durch elementare Zeilenumformungen zur Bestimmung der Lösungsmenge.

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