All flashcard decks Panhellenic Examinations (Greece) syllabus →

25 cardsPanhellenic Examinations (Greece)

Πανελλαδικές Μαθηματικά: Βασικά Θεωρήματα, Τύποι και Μεθοδολογία

Βασικά θεωρήματα αναλύσεως (Bolzano, Rolle, ΘΜΤ), τεχνικές ολοκλήρωσης, ασύμπτωτες, κυρτότητα και μιγαδικοί αριθμοί για τα Μαθηματικά Προσανατολισμού των Πανελλαδικών Εξετάσεων.

Start studying Play Match

PDF study sheet

Free account needed to save, copy or download. We bring you back here.

1 / 25

0 known

TermClick or press Space to flip

Θεώρημα Bolzano

GetMyMockTestQuestion side

Full list

Terms in this deck (25)

Panhellenic Examinations (Greece) mock tests →

Θεώρημα Bolzano

Έστω συνάρτηση

f

συνεχής στο

[a, b]

. Αν

f (a) \cdot f (b) < 0

, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα

x_{0} \in (a, b)

τέτοιο ώστε

f (x_{0}) = 0

Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών (ΘΕΤ)

Αν η

f

είναι συνεχής στο

[a, b]

και

f (a) \neq = f (b)

, τότε για κάθε αριθμό

η

μεταξύ των

f (a)

και

f (b)

υπάρχει τουλάχιστον ένα

x_{0} \in (a, b)

τέτοιο ώστε

f (x_{0}) = η

Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής (Weierstrass)

Αν η

f

είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα

[a, b]

, τότε η

f

παίρνει μια μέγιστη τιμή

M

και μια ελάχιστη τιμή

m

στο

[a, b]

Βασικό Τριγωνομετρικό Όριο

lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1

και

lim_{x \to 0} \frac{c o s x - 1}{x} = 0

(με

x

σε ακτίνια/rad).

Κριτήριο Παρεμβολής

Αν

h (x) \leq f (x) \leq g (x)

κοντά στο

x_{0}

και

lim_{x \to x_{0}} h (x) = lim_{x \to x_{0}} g (x) = ℓ

, τότε

lim_{x \to x_{0}} f (x) = ℓ

Ορισμός Παραγώγου σε σημείο

x_{0}

f^{'} (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} = lim_{h \to 0} \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h}

(εφόσον το όριο υπάρχει και είναι πεπερασμένο).

Εξίσωση Εφαπτομένης σε σημείο

A (x_{0}, f (x_{0}))

y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης είναι

λ = f^{'} (x_{0}) = tan ω

Θεώρημα Rolle

Αν η

f

είναι συνεχής στο

[a, b]

, παραγωγίσιμη στο

(a, b)

και

f (a) = f (b)

, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα

ξ \in (a, b)

τέτοιο ώστε

f^{'} (ξ) = 0

Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού (ΘΜΤ)

Αν η

f

είναι συνεχής στο

[a, b]

και παραγωγίσιμη στο

(a, b)

, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα

ξ \in (a, b)

ώστε

f^{'} (ξ) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}

Θεώρημα Fermat για τοπικά ακρότατα

Αν η

f

παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε εσωτερικό σημείο

x_{0}

του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγίσιμη στο

x_{0}

, τότε

f^{'} (x_{0}) = 0

Κρίσιμα Σημεία Συνάρτησης

Τα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού στα οποία η παράγωγος μηδενίζεται (

f^{'} (x) = 0

) ή στα οποία η

f

δεν είναι παραγωγίσιμη.

Κυρτότητα και Σημείο Καμπής

Αν

f^{''} (x) > 0

στο διάστημα

Δ

, η

f

είναι κυρτή (στρέφει τα κοίλα άνω). Αν

f^{''} (x) < 0

, είναι κοίλη. Σημείο στο οποίο αλλάζει η κυρτότητα και υπάρχει εφαπτομένη λέγεται σημείο καμπής.

Πλάγια Ασύμπτωτη στο

+ \infty

y = λ x + β

, όπου

λ = lim_{x \to + \infty} \frac{f ( x )}{x} \in R^{*}

και

β = lim_{x \to + \infty} (f (x) - λ x) \in R

Παραγώγιση Σύνθετης Συνάρτησης (Αλυσίδα)

(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

. Ειδικά:

(e^{g (x)})^{'} = e^{g (x)} g^{'} (x)

και

(ln ∣ g (x) ∣)^{'} = \frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )}

Παραγώγιση Ολοκληρώματος με Μεταβλητά Όρια

\frac{d}{d x} (\int_{u (x)}^{v (x)} f (t) d t) = f (v (x)) v^{'} (x) - f (u (x)) u^{'} (x)

(με

f

συνεχή).

Μέθοδος Παραγοντικής Ολοκλήρωσης

\int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x

Ολοκλήρωση με Αλλαγή Μεταβλητής

\int_{a}^{b} f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int_{g (a)}^{g (b)} f (u) d u

, θέτοντας

u = g (x)

και

d u = g^{'} (x) d x

Εμβαδόν Χωρίου μεταξύ δύο καμπυλών

E = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x

. Αν

f (x) \geq g (x)

στο

[a, b]

, τότε

E = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x

Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού

Για

z = a + bi

∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}

. Ιδιότητες:

∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣∣ z_{2} ∣

∣ z ∣^{2} = z \cdot \overset{z}{ˉ}

∣ z_{1} + z_{2} ∣ \leq ∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣

(τριγωνική ανισότητα).

Συζυγής Μιγαδικός Αριθμός

Για

z = a + bi

\overset{z}{ˉ} = a - bi

. Ιδιότητες:

\overline{z_{1} + z_{2}} = \overset{z}{ˉ}_{1} + \overset{z}{ˉ}_{2}

\overline{z_{1} z_{2}} = \overset{z}{ˉ}_{1} \overset{z}{ˉ}_{2}

z + \overset{z}{ˉ} = 2 Re (z)

z - \overset{z}{ˉ} = 2 i Im (z)

Γεωμετρικός Τόπος Κύκλου στο Μιγαδικό Επίπεδο

Η εξίσωση

∣ z - z_{0} ∣ = R

παριστάνει κύκλο με κέντρο την εικόνα του

z_{0} (x_{0}, y_{0})

και ακτίνα

R > 0

Γεωμετρικός Τόπος Μεσοκαθέτου στο Μιγαδικό Επίπεδο

Η εξίσωση

∣ z - z_{1} ∣ = ∣ z - z_{2} ∣

παριστάνει τη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος με άκρα τις εικόνες των

z_{1}

και

z_{2}

Κανόνες De L'Hôpital

Για απροσδιόριστες μορφές

\frac{0}{0}

\frac{\pm \infty}{\pm \infty}

lim_{x \to x_{0}} \frac{f ( x )}{g ( x )} = lim_{x \to x_{0}} \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}

, εφόσον υπάρχει το όριο των παραγώγων.

Συνθήκη Αντιστρεψιμότητας Συνάρτησης (

1 - 1

)

Η συνάρτηση

f

είναι

1 - 1

αν και μόνο αν για κάθε

x_{1}, x_{2}

με

f (x_{1}) = f (x_{2}) ⟹ x_{1} = x_{2}

. Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι

1 - 1

και αντιστρέφεται.

Συμμετρία Γραφημάτων

f

και

f^{- 1}

Οι γραφικές παραστάσεις

C_{f}

και

C_{f^{- 1}}

δύο αντίστροφων συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο του 1ου και 3ου τεταρτημορίου (ευθεία

y = x

More Panhellenic Examinations (Greece) practice

Panhellenic Examinations (Greece) mock tests

All Panhellenic Examinations (Greece) practice →