All flashcard decks Érettségi (Matura Hungary) syllabus →

25 cardsÉrettségi (Matura Hungary)

Érettségi Matematika: Tételek, Képletek és Koordinátageometria

Átfogó összefoglaló kártyák a közép- és emelt szintű matematika érettségihez: algebra, függvények, geometria, trigonometria és valószínűségszámítás.

Start studying Play Match

PDF study sheet

Free account needed to save, copy or download. We bring you back here.

1 / 25

0 known

TermClick or press Space to flip

Másodfokú egyenlet megoldóképlete és diszkrimináns

GetMyMockTestQuestion side

Full list

Terms in this deck (25)

Érettségi (Matura Hungary) mock tests →

Másodfokú egyenlet megoldóképlete és diszkrimináns

a x^{2} + b x + c = 0

(

a \neq = 0

) egyenlet gyökei:

x_{1, 2} = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

. A diszkrimináns

D = b^{2} - 4 a c

. Ha

D > 0

: két valós gyök;

D = 0

: egy valós gyök (kétszeres);

D < 0

: nincs valós gyök.

Viète-formulák másodfokú egyenletre

x^{2} + p x + q = 0

főegyütthatós egyenlet

x_{1}, x_{2}

gyökeire:

x_{1} + x_{2} = - p

és

x_{1} x_{2} = q

. Általánosan

a x^{2} + b x + c = 0

esetén:

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

és

x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

Nevezetes azonosságok (második és harmadik hatványok)

(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

(a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}

a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})

A logaritmus azonosságai és alapváltás

lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y

;

lo g_{a} (\frac{x}{y}) = lo g_{a} x - lo g_{a} y

;

lo g_{a} (x^{k}) = k lo g_{a} x

;

lo g_{a} a = 1, lo g_{a} 1 = 0

. Alapváltás:

lo g_{a} b = \frac{l o g _{c} b}{l o g _{c} a}

Számtani sorozat általános tagja és összege

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

. Az első

n

tag összege:

S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n

Mértani sorozat általános tagja és összege

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

. Első

n

tag összege (

q \neq = 1

S_{n} = a_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}

. Végtelen mértani sor összege (

∣ q ∣ < 1

esetén):

S = \frac{a _{1}}{1 - q}

Pitagorasz-tétel és magasságtétel derékszögű háromszögben

Pitagorasz:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

. Magasságtétel:

m^{2} = p \cdot q

, ahol

p

és

q

az átfogó szeletei. Befogótétel:

a^{2} = c \cdot p

és

b^{2} = c \cdot q

Szinusztétel és koszinusztétel

Szinusztétel:

\frac{a}{s i n α} = \frac{b}{s i n β} = \frac{c}{s i n γ} = 2 R

(ahol

R

a köré írt kör sugara). Koszinusztétel:

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ

Háromszög területszámítási képletei

T = \frac{a \cdot m _{a}}{2} = \frac{ab s i n γ}{2} = \frac{ab c}{4 R} = s \cdot r = s (s - a) (s - b) (s - c)

(Hérón-képlet,

s = \frac{a + b + c}{2}

r

a beírt kör sugara).

Kör és körcikk kerülete, területe

Kör:

K = 2 π r

T = π r^{2}

α

középponti szögű körcikk: ívhossz

i = \frac{2 π r α}{36 0 ^{\circ}}

, terület

T_{k} = \frac{π r ^{2} α}{36 0 ^{\circ}} = \frac{i \cdot r}{2}

Koordinátageometria: Két pont távolsága és felezőpont

A (x_{1}, y_{1})

és

B (x_{2}, y_{2})

távolsága:

d (A, B) = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

. Felezőpont:

F (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

Koordinátageometria: Egyenes normálvektoros egyenlete

Az adott

P_{0} (x_{0}, y_{0})

ponton átmenő,

n (A, B)

normálvektorú egyenes egyenlete:

A x + B y = A x_{0} + B y_{0}

Koordinátageometria: Kör egyenlete

K (u, v)

középpontú,

r

sugarú kör egyenlete:

(x - u)^{2} + (y - v)^{2} = r^{2}

Vektorok skaláris szorzata és merőlegessége

a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos ϕ = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}

. Két nullától különböző síkvektor pontosan akkor merőleges egymásra, ha

a \cdot b = 0

, azaz

a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = 0

Hatványfüggvény deriváltja és elemi deriválási szabályok

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

(c)^{'} = 0

(c \cdot f)^{'} = c \cdot f^{'}

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

. Továbbá:

(sin x)^{'} = cos x

(cos x)^{'} = - sin x

(e^{x})^{'} = e^{x}

(ln x)^{'} = \frac{1}{x}

Szorzat és hányados deriválási szabálya

Szorzat:

(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

. Hányados:

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

(

v \neq = 0

esetén).

Érintő egyenlete az

x_{0}

pontban

f

differenciálható függvény grafikonjának

P (x_{0}, f (x_{0}))

pontbeli érintőjének egyenlete:

y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

Lokális szélsőérték szükséges és elégséges feltétele

Szükséges: ha a belső

x_{0}

pontban lokális szélsőérték van és

f

differenciálható, akkor

f^{'} (x_{0}) = 0

. Elégséges: ha

f^{'} (x_{0}) = 0

és

f^{''} (x_{0}) > 0

, lokális minimum; ha

f^{''} (x_{0}) < 0

, lokális maximum.

Newton–Leibniz-tétel (határozott integrál)

f

folytonos az

[a, b]

intervallumon és

F

a primitív függvénye (

F^{'} = f

), akkor

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Síkidom területe határozott integrállal

Ha az

[a, b]

intervallumon

f (x) \geq g (x)

, akkor a két görbe és az

x = a, x = b

egyenesek által határolt síkrész területe:

T = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x

Permutáció, variáció és kombináció (ismétlés nélküli)

Permutáció:

P_{n} = n!

. Variáció (

k

elem kiválasztása sorrenddel):

V_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}

. Kombináció (

k

elem kiválasztása sorrend nélkül):

C_{n}^{k} = (k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

Binomiális tétel

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) a^{n - k} b^{k} = (0 n) a^{n} + (1 n) a^{n - 1} b + \dots + (n n) b^{n}

Klasszikus valószínűség és független események

Klasszikus:

P (A) = \frac{k}{n} = \frac{kedvez o ˝ esetek}{o ¨ sszes eset}

. Két esemény független, ha

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

Feltételes valószínűség és Bayes-tétel

Feltételes:

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

(

P (B) > 0

). Bayes-tétel:

P (A_{k} ∣ B) = \frac{P ( A _{k} ) P ( B ∣ A _{k} )}{\sum _{i = 1}^{n} P ( A _{i} ) P ( B ∣ A _{i} )}

Euler-tétel a fokszámok összegéről (gráfelmélet)

Minden véges egyszerű gráfban a csúcsok fokszámainak összege egyenlő az élek számának kétszeresével:

\sum_{v \in V} d (v) = 2∣ E ∣

. Következmény: a páratlan fokszámú csúcsok száma mindig páros.

Érettségi (Matura Hungary) in Hungary

In Hungary, Érettségi (Matura Hungary) is part of: School-leaving exams.

Students on the same pathway also practise:

Hungarian General Knowledge

More Érettségi (Matura Hungary) practice

Érettségi (Matura Hungary) mock tests

All Érettségi (Matura Hungary) practice →