All flashcard decks Vitnemål Eksamen (Norway) syllabus →

25 cardsVitnemål Eksamen (Norway)

Vitnemål Matematikk R2: Formler, Vektorer og Integrasjon

Viktige formler, integrasjonsteknikker, vektorregning i rommet, trigonometri og differensiallikninger for Vitnemål Matematikk R2.

Start studying Play Match

PDF study sheet

Free account needed to save, copy or download. We bring you back here.

1 / 25

0 known

TermClick or press Space to flip

Delvis integrasjon (ubestemt og bestemt)

GetMyMockTestQuestion side

Full list

Terms in this deck (25)

Vitnemål Eksamen (Norway) mock tests →

Delvis integrasjon (ubestemt og bestemt)

\int u v^{'} d x = uv - \int u^{'} v d x

. For bestemte integraler:

\int_{a}^{b} u v^{'} d x = [uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} v d x

Integrasjon ved substitusjon

\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int f (u) d u

med

u = g (x)

d u = g^{'} (x) d x

. For bestemte integraler endres integrasjonsgrensene til

u (a)

u (b)

Delbrøkoppspalting for rasjonale funksjoner

Når nevneren kan faktoriseres i lineære faktorer

(x - x_{1}) (x - x_{2})

\frac{P ( x )}{( x - x _{1} ) ( x - x _{2} )} = \frac{A}{x - x _{1}} + \frac{B}{x - x _{2}}

Volum av omdreiningslegeme om x-aksen

V = π \int_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x

når flaten under

y = f (x)

roterer

36 0^{\circ}

x

-aksen mellom

x = a

x = b

Areal mellom to funksjonsgrafer

A = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x

der

f (x) \geq g (x)

for alle

x \in [a, b]

Buelengde til en funksjonsgraf

L = \int_{a}^{b} 1 + [f^{'} (x)]^{2} d x

for en deriverbar funksjon

f (x)

over

[a, b]

Analysens fundamentalteorem (Leibniz regel)

\frac{d}{d x} (\int_{a}^{x} f (t) d t) = f (x)

. Mer generelt:

\frac{d}{d x} (\int_{u (x)}^{v (x)} f (t) d t) = f (v (x)) v^{'} (x) - f (u (x)) u^{'} (x)

Skalarprodukt (prikkprodukt) i 3D

u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3} = ∣ u ∣∣ v ∣ cos θ

. Vektorene er ortogonale (vinkelrette) hvis og bare hvis

u \cdot v = 0

Vektorprodukt (kryssprodukt) i 3D

u \times v = [u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}, u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}, u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}]

. Vektoren

u \times v

står vinkelrett på både

u

v

Areal utspent av to romvektorer

Areal av parallellogram utspent av

u

v

A = ∣ u \times v ∣

. Areal av trekant er

A = \frac{1}{2} ∣ u \times v ∣

Volum av parallellepiped og tetraeder

Spatproduktet gir volumet av parallellepiped:

V = ∣ (u \times v) \cdot w ∣

. Volum av tetraeder utspent av tre vektorer:

V_{tet} = \frac{1}{6} ∣ (u \times v) \cdot w ∣

Likning for et plan i rommet

Plan med normalvektor

n = [a, b, c]

gjennom punktet

P (x_{0}, y_{0}, z_{0})

a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0

, eller

a x + b y + cz + d = 0

Parameterframstilling for en rett linje i rommet

Linje gjennom

P (x_{0}, y_{0}, z_{0})

med retningsvektor

v = [a, b, c]

[x, y, z] = [x_{0} + a t, y_{0} + b t, z_{0} + c t]

der

t \in R

Avstand fra et punkt til et plan

Avstanden fra punkt

P (x_{1}, y_{1}, z_{1})

til planet

α : a x + b y + cz + d = 0

d = \frac{∣ a x _{1} + b y _{1} + c z _{1} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

Kulelikningen i tredimensjonalt rom

Kule med sentrum

S (x_{0}, y_{0}, z_{0})

og radius

r

(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2} = r^{2}

Harmonisk svingning på formen

A sin (k x + ϕ)

a sin (k x) + b cos (k x) = A sin (k x + ϕ)

, der amplitude

A = a^{2} + b^{2}

cos ϕ = \frac{a}{A}

sin ϕ = \frac{b}{A}

tan ϕ = \frac{b}{a}

Dobbeltvinkelformler for trigonometri

sin (2 x) = 2 sin x cos x

;

cos (2 x) = cos^{2} x - sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1 = 1 - 2 sin^{2} x

Deriverte av

tan x

og inverse trigonometriske funksjoner

(tan x)^{'} = 1 + tan^{2} x = \frac{1}{c o s ^{2} x}

;

(arcsin x)^{'} = \frac{1}{1 - x ^{2}}

;

(arctan x)^{'} = \frac{1}{1 + x ^{2}}

Konvergens og sum av geometrisk rekke

Uendelig geometrisk rekke

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{1} k^{n - 1}

konvergerer hvis og bare hvis

∣ k ∣ < 1

. Summen er

S = \frac{a _{1}}{1 - k}

Førsteordens separabel differensiallikning

\frac{d y}{d x} = g (x) h (y) ⟺ \int \frac{1}{h ( y )} d y = \int g (x) d x

(for

h (y) \neq = 0

Integrerende faktor for lineære førsteordens differensiallikninger

For

y^{'} + P (x) y = Q (x)

: multipliser med integrerende faktor

I (x) = e^{\int P (x) d x}

, som gir

(y \cdot I (x))^{'} = Q (x) I (x)

Logistisk vekstmodell og likevekt

y^{'} = k y (1 - \frac{y}{B})

, der

k

er vekstrate og

B

er bæreevne. Løsningen er

y (t) = \frac{B}{1 + C e ^{- k t}}

. Likevektspunkter:

y = 0

(ustabil),

y = B

(stabil).

Andreordens homogen differensiallikning med reelle røtter

y^{''} + a y^{'} + b y = 0

, karakteristisk likning

r^{2} + a r + b = 0

. To distinkte reelle røtter

r_{1} \neq = r_{2}

y (x) = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}

Andreordens differensiallikning med komplekse røtter

Hvis karakteristisk likning har røtter

r = α \pm i β

: den reelle generelle løsningen er

y (x) = e^{α x} (C_{1} cos (β x) + C_{2} sin (β x))

L'Hôpitals regel for ubestemte uttrykk

Dersom

lim_{x \to a} \frac{f ( x )}{g ( x )}

gir

\frac{0}{0}

eller

\frac{\pm \infty}{\pm \infty}

, og

f^{'} (x), g^{'} (x)

eksisterer nær

a

, så er

lim_{x \to a} \frac{f ( x )}{g ( x )} = lim_{x \to a} \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}

Vitnemål Eksamen (Norway) in Norway

In Norway, Vitnemål Eksamen (Norway) is part of: School-leaving exams.

Students on the same pathway also practise:

Norwegian General Knowledge

More Vitnemål Eksamen (Norway) practice

Vitnemål Eksamen (Norway) mock tests

All Vitnemål Eksamen (Norway) practice →