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25 cardsGerman Abitur

Abitur Mathematik Kernkompetenzen

Zentrale Definitionen, Ableitungsregeln, analytische Geometrie und Stochastik-Formeln für das deutsche Abitur.

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Notwendige Bedingung für Extremstellen

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Notwendige Bedingung für Extremstellen

f^{'} (x_{0}) = 0

(waagerechte Tangente an der Stelle

x_{0}

Hinreichende Bedingung für ein lokales Minimum

f^{'} (x_{0}) = 0

und

f^{''} (x_{0}) > 0

(Linkskrümmung / Konvexität).

Hinreichende Bedingung für ein lokales Maximum

f^{'} (x_{0}) = 0

und

f^{''} (x_{0}) < 0

(Rechtskrümmung / Konkavität).

Bedingung für einen Wendepunkt

Notwendig:

f^{''} (x_{0}) = 0

. Hinreichend:

f^{''} (x_{0}) = 0

und

f^{'''} (x_{0}) \neq = 0

(oder Vorzeichenwechsel von

f^{''}

Bedingung für einen Sattelpunkt (Terrassenpunkt)

Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente:

f^{'} (x_{0}) = 0

f^{''} (x_{0}) = 0

und Vorzeichenwechsel von

f^{''}

Kettenregel der Differentialrechnung

[u (v (x))]^{'} = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)

(äußere Ableitung mal innere Ableitung).

Produktregel der Differentialrechnung

[u (x) \cdot v (x)]^{'} = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x)

Quotientenregel der Differentialrechnung

[\frac{u ( x )}{v ( x )}]^{'} = \frac{u ^{'} ( x ) v ( x ) - u ( x ) v ^{'} ( x )}{[ v ( x ) ] ^{2}}

Ableitung von

e^{k x}

und

ln (x)

(e^{k x})^{'} = k \cdot e^{k x}

und

(ln x)^{'} = \frac{1}{x}

für

x > 0

Achsensymmetrie zur y-Achse

f (- x) = f (x)

für alle

x \in D_{f}

(nur gerade Potenzen bei ganzrationalen Funktionen).

Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung

f (- x) = - f (x)

für alle

x \in D_{f}

(nur ungerade Potenzen bei ganzrationalen Funktionen).

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

, wobei

F^{'} (x) = f (x)

Rotationsvolumen um die x-Achse

V = π \int_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x

Skalarprodukt zweier Vektoren

a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos (α)

Orthogonalitätskriterium für Vektoren

Zwei Vektoren

a, b \neq = 0

stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn

a \cdot b = 0

Normalenform einer Ebene

E : (x - p) \cdot n = 0

bzw. Koordinatenform

n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + n_{3} x_{3} = d

Abstand Punkt-Ebene (Hesse-Normalform)

d (P, E) = \frac{∣ n _{1} p _{1} + n _{2} p _{2} + n _{3} p _{3} - d ∣}{n _{1}^{2} + n _{2}^{2} + n _{3}^{2}}

Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße

E (X) = μ = \sum_{i} x_{i} \cdot P (X = x_{i})

Varianz und Standardabweichung

V a r (X) = σ^{2} = \sum (x_{i} - μ)^{2} \cdot P (X = x_{i})

und

σ = V a r (X)

Formel von Bernoulli (Binomialverteilung)

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

Erwartungswert und Standardabweichung bei

B (n, p)

μ = n \cdot p

und

σ = n \cdot p \cdot (1 - p)

Laplace-Wahrscheinlichkeit

P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣} = \frac{Anzahl der g u ¨ nstigen Ergebnisse}{Anzahl aller m o ¨ glichen Ergebnisse}

Satz von Bayes

P (A ∣ B) = \frac{P ( B ∣ A ) \cdot P ( A )}{P ( B )}

Fehler 1. Art (

α

-Fehler) im Hypothesentest

Verwerfen der Nullhypothese

H_{0}

, obwohl sie in Wirklichkeit wahr ist.

Fehler 2. Art (

β

-Fehler) im Hypothesentest

Beibehalten der Nullhypothese

H_{0}

, obwohl die Alternative

H_{1}

wahr ist.

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