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Exame Nacional Matemática A: Fórmulas, Teoremas e Geometria

Formulário essencial, teoremas fundamentais de cálculo, combinatória, trigonometria, geometria analítica no espaço e números complexos para o Exame Nacional de Matemática A.

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Regras de Contagem: Arranjos e Combinações Simples

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Regras de Contagem: Arranjos e Combinações Simples

Arranjos simples:

^{n} A_{p} = \frac{n !}{( n - p )!}

(a ordem importa, sem repetição). Combinações:

^{n} C_{p} = (p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}

(a ordem não importa).

Fórmula do Binómio de Newton e Termo Geral

(a + b)^{n} = \sum_{p = 0}^{n} (p n) a^{n - p} b^{p}

. Termo de ordem

p + 1

T_{p + 1} = (p n) a^{n - p} b^{p}

Axiomas e Regra da Probabilidade da União

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

. Se

A

B

forem disjuntos (incompatíveis):

P (A \cup B) = P (A) + P (B)

Probabilidade Condicionada e Independência de Acontecimentos

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

(

P (B) > 0

A

B

são independentes

⟺ P (A \cap B) = P (A) \times P (B) ⟺ P (A ∣ B) = P (A)

Teorema da Probabilidade Total

{A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}}

é uma partição do espaço amostral

S

P (B) = \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) \times P (B ∣ A_{i})

Distribuição Binomial:

X \sim B (n, p)

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

(

k = 0, 1, \dots, n

). Média

μ = E (X) = n p

; Variância

σ^{2} = n p (1 - p)

Limites Notáveis de Exponenciais e Logaritmos

lim_{x \to 0} \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1

lim_{x \to 0} \frac{l n ( x + 1 )}{x} = 1

lim_{x \to + \infty} \frac{e ^{x}}{x ^{p}} = + \infty

lim_{x \to + \infty} \frac{l n x}{x} = 0

Limite Notável Trigonométrico

lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1

(com

x

expresso em radianos).

Equação da Reta Tangente ao Gráfico de

f

x = x_{0}

y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

, onde o declive é a derivada

m = f^{'} (x_{0})

Teorema de Bolzano-Cauchy (Valor Intermédio)

f

é contínua em

[a, b]

f (a) \times f (b) < 0

, então existe pelo menos um

c \in] a, b [

tal que

f (c) = 0

Teorema de Lagrange (Teorema do Valor Médio)

f

é contínua em

[a, b]

e derivável em

] a, b [

, então existe pelo menos um

c \in] a, b [

tal que

f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}

Condição de Extremo Local e Monotonia

f^{'} (x) > 0

I

f

é estritamente crescente. Se

f^{'} (x) < 0

f

é decrescente. Se

f^{'} (x_{0}) = 0

f^{'}

muda de sinal,

x_{0}

é extremo local.

Concavidade e Ponto de Inflexão (Segunda Derivada)

f^{''} (x) > 0 ⟹

concavidade voltada para cima;

f^{''} (x) < 0 ⟹

concavidade voltada para baixo. Mudança de sinal de

f^{''} ⟹

ponto de inflexão.

Assíntota Oblíqua: Cálculo de

m

b

Reta

y = m x + b

com

m = lim_{x \to \pm \infty} \frac{f ( x )}{x}

(

m \in R ∖ {0}

) e

b = lim_{x \to \pm \infty} (f (x) - m x)

(

b \in R

Fórmulas de Trigonometria: Duplicação e Adição

sin (2 a) = 2 sin a cos a

cos (2 a) = cos^{2} a - sin^{2} a = 2 cos^{2} a - 1

sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b

cos (a \pm b) = cos a cos b \mp sin a sin b

Teorema de Carnot (Lei dos Cossenos)

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos \hat{A}

(generalização do Teorema de Pitágoras para qualquer triângulo).

Produto Escalar no Espaço e Condição de Perpendicularidade

u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3} = ∣ u ∣∣ v ∣ cos θ

. Dois vetores são perpendiculares se e só se

u \cdot v = 0

Equação Cartesiana do Plano no Espaço

A x + B y + C z + D = 0

, onde

n = (A, B, C)

é um vetor normal não nulo perpendicular ao plano.

Equação da Superfície Esférica

(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2} = r^{2}

, com centro

C (x_{0}, y_{0}, z_{0})

e raio

r > 0

Distância entre Ponto e Plano no Espaço

d (P, α) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}

, onde

P (x_{0}, y_{0}, z_{0})

α : A x + B y + C z + D = 0

Forma Trigonométrica de um Número Complexo

z = r e^{i θ} = r (cos θ + i sin θ)

, onde

r = ∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}

tan θ = \frac{b}{a}

com

θ \in] - π, π]

Fórmula de De Moivre (Potenciação Complexa)

z^{n} = (r e^{i θ})^{n} = r^{n} e^{in θ} = r^{n} (cos (n θ) + i sin (n θ))

para

n \in Z

Fórmula das Raízes

n

-ésimas de um Número Complexo

w_{k} = n r e^{i (\frac{θ + 2 k π}{n})}

, para

k = 0, 1, \dots, n - 1

. Formam um polígono regular de

n

vértices centrado na origem.

Lugares Geométricos Complexos: Circunferência e Mediatriz

∣ z - z_{0} ∣ = r

: circunferência de centro

z_{0}

e raio

r

∣ z - z_{1} ∣ = ∣ z - z_{2} ∣

: mediatriz do segmento de reta que une os afixos de

z_{1}

z_{2}

Propriedades do Conjugado Complexo

\overset{z}{ˉ}

\overline{z_{1} \pm z_{2}} = \overset{z}{ˉ}_{1} \pm \overset{z}{ˉ}_{2}

\overline{z_{1} z_{2}} = \overset{z}{ˉ}_{1} \overset{z}{ˉ}_{2}

z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2}

z + \overset{z}{ˉ} = 2 Re (z)

z - \overset{z}{ˉ} = 2 i Im (z)

Exames Nacionais Secundário (Portugal) in Portugal

In Portugal, Exames Nacionais Secundário (Portugal) is part of: School-leaving exams.

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