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Baccalauréat Tunisien Mathématiques: Formules Fondamentales et Définitions

Fiches de mémorisation et théorèmes repères pour le Baccalauréat Tunisien Section Mathématiques : suites, fonctions, intégrales et géométrie dans l'espace.

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Racines carrées d'un nombre complexe sous forme algébrique

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Racines carrées d'un nombre complexe sous forme algébrique

Pour résoudre

w^{2} = z = a + ib

avec

w = x + i y

⎩ ⎨ ⎧ x^{2} - y^{2} = a 2 x y = b x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}

. On en déduit

x^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2} + a}{2}

y^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2} - a}{2}

, le signe de

x y

étant celui de

b

Formule de De Moivre et exponentielle complexe

e^{i θ} = cos θ + i sin θ

. Pour tout

n \in Z

(cos θ + i sin θ)^{n} = cos (n θ) + i sin (n θ)

, soit

(e^{i θ})^{n} = e^{in θ}

. Conséquence : factorisation d'arcs moitiés

1 + e^{i θ} = 2 cos (\frac{θ}{2}) e^{i θ /2}

Lieux géométriques fondamentaux dans le plan complexe

∣ z - z_{A} ∣ = R

: cercle de centre

A

et de rayon

R

∣ z - z_{A} ∣ = ∣ z - z_{B} ∣

: médiatrice du segment

[A B]

ar g (z - z_{A}) = θ (mod 2 π)

: demi-droite d'origine

A

privée de

A

Similitude directe : écriture complexe et éléments caractéristiques

Toute similitude directe non constante s'écrit

z^{'} = a z + b

(

a \neq = 0

). Si

a = 1

, c'est une translation de vecteur d'affixe

b

. Si

a \neq = 1

, elle admet un unique point invariant (centre

Ω

) d'affixe

ω = \frac{b}{1 - a}

, son rapport est

k = ∣ a ∣

et son angle

θ = ar g (a)

Continuité et prolongement par continuité

f

est continue en

x_{0}

lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})

. Si

f

n'est pas définie en

x_{0}

mais admet une limite finie

L

x_{0}

, la fonction

g

définie par

g (x) = f (x)

x \neq = x_{0}

g (x_{0}) = L

est le prolongement par continuité de

f

x_{0}

Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

f

est continue sur un intervalle

I

et si

a, b \in I

, alors pour tout réel compris entre

f (a)

f (b)

, il existe au moins un réel

c

compris entre

a

b

tel que

f (c) = k

. Si

f

est continue et strictement monotone,

f

réalise une bijection de

I

sur

f (I)

Théorème des Accroissements Finis (TAF)

f

est continue sur

[a, b]

et dérivable sur

] a, b [

, il existe au moins un

c \in] a, b [

tel que

f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a)

Inégalité des Accroissements Finis (IAF)

f

est dérivable sur un intervalle

I

et s'il existe des réels

m

M

tels que

m \leq f^{'} (x) \leq M

pour tout

x \in I

, alors pour tous

a, b \in I

(

a \leq b

) :

m (b - a) \leq f (b) - f (a) \leq M (b - a)

. Si

∣ f^{'} (x) ∣ \leq k

, alors

∣ f (b) - f (a) ∣ \leq k ∣ b - a ∣

Points d'inflexion et concavité/convexité

f

est convexe sur

I ⟺ f^{''} (x) \geq 0

pour tout

x \in I

; concave

⟺ f^{''} (x) \leq 0

. Si

f^{''}

s'annule en

x_{0}

en changeant de signe, le point

I (x_{0}, f (x_{0}))

est un point d'inflexion pour la courbe

C_{f}

Branches infinies : asymptotes obliques et directions paraboliques

lim_{x \to \pm \infty} \frac{f ( x )}{x} = a \in R^{*}

: si

lim (f (x) - a x) = b \in R

, droite

y = a x + b

asymptote ; si

lim (f (x) - a x) = \pm \infty

, direction parabolique de direction

y = a x

; si

a = 0

, direction parabolique d'axe

(O x)

; si

a = \pm \infty

, direction d'axe

(O y)

Dérivée de la réciproque

(f^{- 1})^{'}

f

est une bijection dérivable en

x_{0}

avec

f^{'} (x_{0}) \neq = 0

, alors

f^{- 1}

est dérivable en

y_{0} = f (x_{0})

et :

(f^{- 1})^{'} (y_{0}) = \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( y _{0} ))}

Logarithme népérien : propriétés et limites remarquables

ln (ab) = ln a + ln b

;

ln (a / b) = ln a - ln b

;

ln (a^{r}) = r ln a

. Limites clés :

lim_{x \to 0^{+}} x ln x = 0

;

lim_{x \to + \infty} \frac{l n x}{x} = 0

;

lim_{x \to 0} \frac{l n ( 1 + x )}{x} = 1

;

lim_{x \to 1} \frac{l n x}{x - 1} = 1

Exponentielle : propriétés et croissances comparées

e^{a + b} = e^{a} e^{b}

;

e^{a - b} = \frac{e ^{a}}{e ^{b}}

;

(e^{a})^{n} = e^{na}

. Limites clés :

lim_{x \to + \infty} \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty

;

lim_{x \to - \infty} x^{n} e^{x} = 0

;

lim_{x \to 0} \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1

Inégalités et théorème de la moyenne pour les intégrales

m \leq f (x) \leq M

sur

[a, b]

, alors

m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a)

. Valeur moyenne :

\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

. Il existe

c \in [a, b]

tel que

f (c) = \overset{ˉ}{f}

Intégration par parties

Pour

u, v

de classe

C^{1}

sur

[a, b]

\int_{a}^{b} u (t) v^{'} (t) d t = [u (t) v (t)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (t) v (t) d t

Changement de variable dans une intégrale

x = ϕ (t)

où

ϕ

est de classe

C^{1}

sur

[α, β]

avec

ϕ (α) = a

ϕ (β) = b

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (ϕ (t)) ϕ^{'} (t) d t

Volume d'un solide de révolution

Le volume du solide obtenu par rotation du graphe de

f

continue sur

[a, b]

autour de l'axe des abscisses est donné par :

V = π \int_{a}^{b} (f (x))^{2} d x

(en unités de volume).

Suites arithmético-géométriques

u_{n + 1} = a u_{n} + b

a \neq = 1

, point fixe

L = \frac{b}{1 - a}

vérifiant

L = a L + b

. La suite auxiliaire

v_{n} = u_{n} - L

est géométrique de raison

a

v_{n} = v_{0} a^{n}

. D'où

u_{n} = (u_{0} - L) a^{n} + L

Sommes de Riemann et convergence vers une intégrale

Pour

f

continue sur

[0, 1]

lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (\frac{k}{n}) = \int_{0}^{1} f (x) d x

. Sur

[a, b]

lim_{n \to + \infty} \frac{b - a}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (a + k \frac{b - a}{n}) = \int_{a}^{b} f (x) d x

Produit vectoriel dans l'espace

R^{3}

u \land v = - (v \land u)

u \land v = 0 ⟺ u

v

sont colinéaires.

u \land v

est orthogonal à la fois à

u

et à

v

. Aire du triangle

A B C

A_{A B C} = \frac{1}{2} ∥ A B \land A C ∥

Produit mixte et volume d'un tétraèdre / parallélépipède

Produit mixte :

(u \land v) \cdot w = det (u, v, w)

. Volume du parallélépipède :

V = ∣ (u \land v) \cdot w ∣

. Volume du tétraèdre

A B C D

V = \frac{1}{6} ∣ (A B \land A C) \cdot A D ∣

Distance d'un point à une droite dans l'espace

La distance d'un point

M

à la droite

D (A, u)

est :

d (M, D) = \frac{∥ A M \land u ∥}{∥ u ∥}

Distance d'un point à un plan dans l'espace

La distance d'un point

M (x_{0}, y_{0}, z_{0})

au plan

P : a x + b y + cz + d = 0

est :

d (M, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

Probabilités : Formule de Bayes

Pour une partition

(A_{1}, \dots, A_{n})

de l'univers et un événement

B

de probabilité non nulle :

P (A_{k} ∣ B) = \frac{P ( A _{k} ) P ( B ∣ A _{k} )}{\sum _{i = 1}^{n} P ( A _{i} ) P ( B ∣ A _{i} )}

Variable aléatoire : Espérance et variance

Pour

X

prenant les valeurs

x_{i}

avec probabilités

p_{i}

: Espérance

E (X) = \sum x_{i} p_{i}

. Variance

V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = \sum (x_{i} - E (X))^{2} p_{i}

. Écart-type :

σ (X) = V (X)

Baccalauréat Tunisien in Tunisia

In Tunisia, Baccalauréat Tunisien is part of: National exams in Tunisia.

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