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學測數學A: 核心定理與必考公式精要

涵蓋學測數學A多項式、指數對數、三角比、平面與空間向量、矩陣變換、排列組合與機率統計核心必考公式與題型模型。

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餘式定理與因式定理

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餘式定理與因式定理

多項式

f (x)

除以

(x - c)

的餘式為

f (c)

；

(x - c)

為

f (x)

的因式

⟺ f (c) = 0

。除以

(a x - b)

的餘式為

f (\frac{b}{a})

。

三次函數的對稱中心 (反曲點)

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

的對稱中心坐標為

(h, k)

，其中

h = - \frac{b}{3 a}

，

k = f (h)

。可展開為

f (x) = a (x - h)^{3} + p (x - h) + k

。

算幾不等式 (算術-幾何平均不等式)

設

a, b > 0

，則

\frac{a + b}{2} \geq ab

，當且僅當

a = b

時等號成立；常應用於「和定積最大」或「積定和最小」。

對數基本律與換底公式

lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y

；

lo g_{a} (\frac{x}{y}) = lo g_{a} x - lo g_{a} y

；

lo g_{a} (x^{k}) = k lo g_{a} x

；換底公式

lo g_{a} b = \frac{l o g _{c} b}{l o g _{c} a}

。

正弦定理與三角形外接圓半徑

\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C} = 2 R

，其中

R

為

△ A B C

的外接圓半徑。

餘弦定理與求邊求角公式

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

，

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}

。

三角形面積海龍公式與三角公式

面積

Δ = \frac{1}{2} ab sin C = s (s - a) (s - b) (s - c)

（海龍公式，其中

s = \frac{a + b + c}{2}

），亦等於

r s = \frac{ab c}{4 R}

。

和角與差角公式

sin (α \pm β) = sin α cos β \pm cos α sin β

；

cos (α \pm β) = cos α cos β \mp sin α sin β

。

倍角與半角公式

sin 2 α = 2 sin α cos α

；

cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α = 2 cos^{2} α - 1 = 1 - 2 sin^{2} α

；

tan 2 α = \frac{2 t a n α}{1 - t a n ^{2} α}

。

平面向量內積與夾角公式

a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}

。兩非零向量垂直

⟺ a \cdot b = 0

。

柯西不等式 (Cauchy-Schwarz Inequality)

(a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2}) \geq (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2})^{2}

，當且僅當

\frac{a _{1}}{b _{1}} = \frac{a _{2}}{b _{2}}

時等號成立。

正射影向量公式

a

在

b

上的正射影向量為

proj_{b} (a) = (\frac{a \cdot b}{∣ b ∣ ^{2}}) b

，其正射影長為

\frac{∣ a \cdot b ∣}{∣ b ∣}

。

空間中點到平面的垂直距離公式

點

P (x_{0}, y_{0}, z_{0})

到平面

E : A x + B y + C z + D = 0

之距離

d (P, E) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}

。

空間向量外積 (Cross Product) 性質

∣ a \times b ∣ = ∣ a ∣∣ b ∣ sin θ

，幾何意義為兩向量所張成之平行四邊形面積；

a \times b

同時垂直於

a

與

b

。

純量三重積與平行六面體體積

由三向量

a, b, c

張成之平行六面體體積為

∣ (a \times b) \cdot c ∣ = ∣ det (a, b, c) ∣

。四面體體積為其

\frac{1}{6}

。

二階方陣的行列式與逆矩陣

設

A = (a c b d)

，

det (A) = a d - b c

。若

det (A) \neq = 0

，則

A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)

。

平面線性變換之旋轉矩陣

逆時針旋轉

θ

角的矩陣：

R_{θ} = (cos θ sin θ - sin θ cos θ)

，且

R_{α} R_{β} = R_{α + β}

。

平面線性變換之鏡射矩陣

對斜角為

θ

的直線進行鏡射的矩陣：

S_{θ} = (cos 2 θ sin 2 θ sin 2 θ - cos 2 θ)

，且

det (S_{θ}) = - 1

，

S_{θ}^{2} = I

。

轉移矩陣 (Markov Transition Matrix) 定義與性質

轉移矩陣的每一行元素非負且和為 1（行隨機矩陣）。穩定狀態機率向量

X

滿足

P X = X

且分量和為 1。

排列數、組合數與二項式定理

P_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}

；

C_{n}^{k} = (k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

；

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) a^{n - k} b^{k}

。

排容原理 (Inclusion-Exclusion Principle)

n (A \cup B \cup C) = n (A) + n (B) + n (C) - [n (A \cap B) + n (B \cap C) + n (C \cap A)] + n (A \cap B \cap C)

。

條件機率與貝氏定理 (Bayes' Theorem)

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

；

P (A_{i} ∣ B) = \frac{P ( A _{i} ) P ( B ∣ A _{i} )}{\sum _{k} P ( A _{k} ) P ( B ∣ A _{k} )}

。

二項分布的期望值與變異數

若

X \sim B (n, p)

，則期望值

E (X) = n p

，變異數

Var (X) = n p (1 - p)

，標準差

σ = n p (1 - p)

。

相關係數與最小平方法迴歸直線

相關係數

r = \frac{\sum ( x - x ˉ ) ( y - y ˉ )}{\sum ( x - x ˉ ) ^{2} \sum ( y - y ˉ ) ^{2}} \in [- 1, 1]

。迴歸直線

y - \overset{y}{ˉ} = b (x - \overset{x}{ˉ})

，其中斜率

b = r \frac{σ _{y}}{σ _{x}}

且過點

(\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})

。

常態分布之

68 - 95 - 99.7

經驗法則

X \sim N (μ, σ^{2})

：

P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 68.3%

；

P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 95.4%

；

P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 99.7%

。

GSAT (Taiwan University Entrance) in Taiwan

In Taiwan, GSAT (Taiwan University Entrance) is part of: National exams in Taiwan.

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