All flashcard decks NMT National Multi-Subject (Ukraine) syllabus →

25 cardsNMT National Multi-Subject (Ukraine)

НМТ Математика: Основні формули, властивості та стереометрія

Ключові формули алгебри, геометрії, властивості функцій, тригонометричні тотожності, похідні, первісні та стереометрія для підготовки до НМТ з математики.

Start studying Play Match

PDF study sheet

Free account needed to save, copy or download. We bring you back here.

1 / 25

0 known

TermClick or press Space to flip

Формули скороченого множення (квадрати і куби)

GetMyMockTestQuestion side

Full list

Terms in this deck (25)

NMT National Multi-Subject (Ukraine) mock tests →

Формули скороченого множення (квадрати і куби)

(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}

;

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

;

(a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}

;

a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})

Властивості степенів та коренів

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

;

\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}

;

(a^{m})^{n} = a^{mn}

;

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

;

n a^{m} = a^{m / n}

(

a > 0

Властивості логарифмів

lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y

;

lo g_{a} (\frac{x}{y}) = lo g_{a} x - lo g_{a} y

;

lo g_{a} (x^{k}) = k lo g_{a} x

;

lo g_{a^{p}} (x) = \frac{1}{p} lo g_{a} x

;

a^{l o g_{a} b} = b

(

a > 0, a \neq = 1, b > 0

Квадратне рівняння і теорема Вієта

a x^{2} + b x + c = 0

: дискримінант

D = b^{2} - 4 a c

. Якщо

D > 0

, два корені

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

. За теоремою Вієта:

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

Метод інтервалів для раціональних нерівностей

1. Перенести всі доданки в ліву частину:

\frac{P ( x )}{Q ( x )} \geq 0

. 2. Знайти нулі чисельника і знаменника. 3. Нанести на вісь (нулі знаменника завжди виколоті). 4. Визначити знаки на інтервалах, враховуючи парність кратностей.

Основні тригонометричні тотожності

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

;

tg α = \frac{s i n α}{c o s α}

;

1 + tg^{2} α = \frac{1}{c o s ^{2} α}

;

tg α \cdot ctg α = 1

Тригонометричні формули подвійного кута

sin (2 α) = 2 sin α cos α

;

cos (2 α) = cos^{2} α - sin^{2} α = 2 cos^{2} α - 1 = 1 - 2 sin^{2} α

;

tg (2 α) = \frac{2 tg α}{1 - tg ^{2} α}

Формули зведення тригонометричних функцій

Якщо кут містить

\frac{π}{2}

або

\frac{3 π}{2}

, функція змінюється на кофункцію (

sin \leftrightarrow cos

tg \leftrightarrow ctg

). Якщо

π

або

2 π

, назва не змінюється. Знак ставиться такий, який має початкова функція в даній чверті.

Арифметична прогресія:

n

-й член і сума

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

. Сума перших

n

членів:

S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n

Геометрична прогресія:

n

-й член і сума

b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}

. Сума перших

n

членів (

q \neq = 1

S_{n} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}

. Сума нескінченної спадної прогресії (

∣ q ∣ < 1

S = \frac{b _{1}}{1 - q}

Таблиця похідних основних функцій

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

;

(x)^{'} = \frac{1}{2 x}

;

(e^{x})^{'} = e^{x}

;

(a^{x})^{'} = a^{x} ln a

;

(ln x)^{'} = \frac{1}{x}

;

(sin x)^{'} = cos x

;

(cos x)^{'} = - sin x

Геометричний та фізичний зміст похідної

Геометричний зміст: кутовий коефіцієнт дотичної

k = f^{'} (x_{0}) = tg α

. Рівняння дотичної:

y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

. Фізичний зміст: миттєва швидкість

v (t) = s^{'} (t)

, прискорення

a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t)

Дослідження функції за допомогою похідної

Якщо

f^{'} (x) > 0

на проміжку, функція зростає; якщо

f^{'} (x) < 0

— спадає. Точка

x_{0}

є точкою максимуму, якщо

f^{'}

змінює знак з

+

на

-

, і мінімуму, якщо з

-

на

+

Первісна і формула Ньютона-Лейбніца

Якщо

F^{'} (x) = f (x)

, то

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

. Площа фігури під графіком невід'ємної функції:

S = \int_{a}^{b} f (x) d x

Теорема косинусів і теорема синусів

Теорема косинусів:

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α

. Теорема синусів:

\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C} = 2 R

, де

R

— радіус описаного навколо трикутника кола.

Формули площі довільного трикутника

S = \frac{1}{2} ah = \frac{1}{2} ab sin C = p (p - a) (p - b) (p - c) = \frac{ab c}{4 R} = p r

, де півпериметр

p = \frac{a + b + c}{2}

r

— радіус вписаного кола.

Прямокутний трикутник: висота і радіуси

c^{2} = a^{2} + b^{2}

. Висота до гіпотенузи:

h_{c} = \frac{ab}{c} = a_{c} b_{c}

. Радіус описаного кола:

R = \frac{c}{2}

. Радіус вписаного кола:

r = \frac{a + b - c}{2}

Площі чотирикутників: паралелограм, ромб, трапеція

Паралелограм:

S = a h_{a} = ab sin α

. Ромб:

S = a^{2} sin α = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

. Трапеція:

S = \frac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h

, де

m

— середня лінія.

Коло, круг і довжина дуги

Довжина кола:

C = 2 π R = π D

. Площа круга:

S = π R^{2}

. Довжина дуги:

l = \frac{π R α}{18 0 ^{\circ}}

. Площа кругового сектора:

S_{сект} = \frac{π R ^{2} α}{36 0 ^{\circ}}

Призма і паралелепіпед

Об'єм:

V = S_{осн} \cdot H

. Площа бічної поверхні прямої призми:

S_{біч} = P_{осн} \cdot H

. Для прямокутного паралелепіпеда:

V = ab c

, діагональ

d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}

Піраміда і правильна піраміда

Об'єм:

V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H

. Бічна поверхня правильної піраміди:

S_{біч} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l

, де

l

— апофема піраміди.

Тіла обертання: циліндр, конус, куля

Циліндр:

V = π R^{2} H

S_{біч} = 2 π R H

. Конус:

V = \frac{1}{3} π R^{2} H

S_{біч} = π R l

(

l = R^{2} + H^{2}

). Куля:

V = \frac{4}{3} π R^{3}

, сфера

S = 4 π R^{2}

Вектори в просторі: скалярний добуток і довжина

Довжина:

∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}

. Скалярний добуток:

a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2} = ∣ a ∣∣ b ∣ cos ϕ

. Умова перпендикулярності:

a \cdot b = 0

Класична ймовірність і комбінаторика

P (A) = \frac{m}{n}

(

m

— сприятливі,

n

— усі рівноможливі). Кількість сполук (без повторень, порядок не має значення):

C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

. Перестановки:

P_{n} = n!

Теорема про три перпендикуляри

Пряма, проведена на площині через основу похилої перпендикулярно до її проекції на цю площину, перпендикулярна і до самої похилої. Правильне і обернене твердження.

NMT National Multi-Subject (Ukraine) in Ukraine

In Ukraine, NMT National Multi-Subject (Ukraine) is part of: School-leaving exams.

Students on the same pathway also practise:

Ukrainian General Knowledge

More NMT National Multi-Subject (Ukraine) practice

NMT National Multi-Subject (Ukraine) mock tests

All NMT National Multi-Subject (Ukraine) practice →