Sea la función polinómica f(x) = x^3 - 3x + 1. ¿Cómo se demuestra rigurosamente mediante el teorema de Bolzano que f tiene al menos una raíz en el intervalo abierto (1, 2)?
Answer and explanation
Correct answer: B. Verificando que f es continua en [1, 2] y que presenta cambio de signo en los extremos: f(1) = -1 < 0 y f(2) = 3 > 0
- Step 1: f es continua en todo R por ser función polinómica, luego es continua en el intervalo cerrado [1, 2]. Step 2. Se evalúan los extremos: f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 < 0; f(2) = 2^3 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3 > 0. Step 3. Como f(1) f(2) < 0 y f es continua en [1, 2], por el Teorema de Bolzano existe al menos un c en (1, 2) tal que f(c) = 0. Answer: Verificando que f es continua en [1, 2] y que presenta cambio de signo en los extremos: f(1) = -1 < 0 y f(2) = 3 > 0. Why not the others:* La derivada positiva indica crecimiento pero no demuestra la existencia de raíces sin Bolzano.
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