Soit un groupe fini d'élément neutre . D'après le théorème de Lagrange, que peut-on affirmer sur l'ordre de tout sous-groupe de ?
Answer and explanation
Correct answer: D. L'ordre de divise l'ordre de ().
- Step 1: Soit un groupe fini et un sous-groupe de . La relation définie par est une relation d'équivalence dont les classes sont les classes à gauche modulo , de la forme .
- Step 2: Chaque classe à gauche a le même cardinal que le sous-groupe , c'est-à-dire , et l'ensemble de ces classes deux à deux disjointes forme une partition du groupe .
- Step 3: En désignant par le nombre de classes à gauche distinctes (appelé indice de dans ), on obtient l'égalité fondamentale .
- Step 4: Par conséquent, l'ordre du sous-groupe divise nécessairement l'ordre du groupe fini, ce qui se note .
Answer
L'ordre de divise l'ordre de ().
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