GSAT (Taiwan University Entrance) · 學測數學A (Mathematics A)

多項式函數、指數與對數

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設多項式 $f (x)$ 除以 $x - 1$ 的餘式為 $3$ ，除以 $x + 2$ 的餘式為 $- 3$ 。求 $f (x)$ 除以 $(x - 1) (x + 2)$ 的餘式。
解方程式 $lo g_{2} (x) + lo g_{2} (x - 2) = 3$ 的實數解 $x$ 為何？
設三次多項式函數 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 1$ 的對稱中心（反曲點）坐標為 $(h, k)$ ，求 $h + k$ 之值。
若方程式 $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ ，求其所有實數解之和。
若實數 $a, b > 0$ 且滿足 $a + 2 b = 8$ ，求 $ab$ 的最大值。
設 $f (x)$ 為實係數三次多項式，已知 $f (1) = f (2) = 0$ ， $f^{'} (1) = 0$ 且 $f (0) = 4$ 。求 $f (3)$ 之值。
在 $△ A B C$ 中，已知邊長 $b = 3$ ， $c = 5$ ，且 $∠ A = 12 0^{\circ}$ 。求邊長 $a$ 之值。
設平面向量 $u = (2, 1)$ 與 $v = (3, - 4)$ 。求 $u$ 在 $v$ 上的正射影向量。
設點 $P (1, 2, 3)$ ，求點 $P$ 到平面 $E : 2 x - 2 y + z = 6$ 的垂直距離。
若空間中兩直線 $L_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{3}$ 與 $L_{2} : \frac{x + 2}{1} = \frac{y}{k} = \frac{z - 1}{- 1}$ 互相垂直，求實數 $k$ 之值。
設 $△ A B C$ 之三頂點坐標為 $A (1, 0, 2)$ 、 $B (2, 2, 1)$ 、 $C (0, 1, 3)$ 。求 $△ A B C$ 的面積。
設空間中有四點 $A (1, 0, 0)$ 、 $B (0, 1, 0)$ 、 $C (0, 0, 1)$ 與 $D (2, 2, 2)$ 。求以 $A B$ 、 $A C$ 、 $A D$ 為三鄰邊所張成之平行六面體的體積。
旋轉矩陣 $R_{θ} = (cos θ sin θ - sin θ cos θ)$ 。若平面上一向量 $v = (10)$ 經 $R_{6 0^{\circ}}$ 變換後，所得新向量坐標為何？
設二階方陣 $A = (1324)$ ，求其逆矩陣 $A^{- 1}$ 。
平面上的線性變換矩陣 $M$ 將點 $(1, 0)$ 變換為 $(3, 1)$ ，將點 $(0, 1)$ 變換為 $(2, 4)$ 。求 $M$ 將點 $(2, - 1)$ 變換所得之點坐標。
設轉移矩陣 $P = (0.8 0.2 0.3 0.7)$ 。求此馬可夫鏈的穩定狀態機率向量 $(x y)$ （滿足 $x + y = 1$ 且…
鏡射矩陣 $S_{L}$ 將直線 $y = 3 x$ 當作對稱軸。已知該對稱軸與 $x$ 軸正向夾角為 $6 0^{\circ}$ ，求 $S_{L}$ 的二階矩陣表示式。
若二階方陣 $A$ 滿足 $A^{2} = A$ （等冪矩陣），且 $A \neq = I$ 且 $A \neq = O$ 。下列敘述何者必為正確？
將 $6$ 本不同的書任意分給甲、乙、丙三個人，每人至少得一本的分法共有幾種？
袋中有 $4$ 顆紅球、 $6$ 顆白球。今從袋中隨機一次取出 $3$ 顆球，求恰好取出 $2$ 顆紅球與 $1$ 顆白球的機率。
設隨機變數 $X$ 服從二項分布 $B (n, p)$ ，已知其期望值 $E (X) = 6$ ，變異數 $Var (X) = 2$ 。求試驗次數 $n$ 之值。
某班學生數學成績服从常態分布 $X \sim N (70, 1 0^{2})$ 。若某生的數學成績為 $90$ 分，則此成績大約高於全班百分之多少的學生？
設隨機變數 $X$ 與 $Y$ 的相關係數為 $r = 0.8$ 。若定義新隨機變數 $U = - 2 X + 3$ 與 $V = 4 Y - 5$ ，求 $U$ 與 $V$ 的相關係數 $r_{U V}$ 之值。
投擲一枚公正硬幣 $10$ 次，令隨機變數 $X$ 表示出現正面的次數。求在已知至少出現 $1$ 次正面的條件下，恰好出現 $2$ 次正面的條件機率。
已知 $x - 1$ 是多項式 $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} + k x + 3$ 的因式，求實數 $k$ 的值。
已知 $x + 2$ 是多項式 $f (x) = x^{3} + x^{2} + k x + 12$ 的因式，求實數 $k$ 的值。
已知 $x + 2$ 是多項式 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + k x - 12$ 的因式，求實數 $k$ 的值。
已知 $x + 2$ 是多項式 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + k x + 30$ 的因式，求實數 $k$ 的值。
設 $α, β, γ$ 為方程式 $x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12 = 0$ 的三根，求 $α^{2} + β^{2} + γ^{2}$ 之值。
設 $α, β, γ$ 為方程式 $x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 = 0$ 的三根，求 $α^{2} + β^{2} + γ^{2}$ 之值。
設 $α, β, γ$ 為方程式 $x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16 = 0$ 的三根，求 $α^{2} + β^{2} + γ^{2}$ 之值。
求 $lo g_{2} 32 - lo g_{3} 27$ 的值。
求 $lo g_{2} 64 - lo g_{5} 25$ 的值。
求 $lo g_{3} 81 - lo g_{2} 8$ 的值。
求 $lo g_{5} 125 - lo g_{2} 16$ 的值。
設 $x_{1}, x_{2}$ 為方程式 $2^{2 x} - 10 \cdot 2^{x} + 16 = 0$ 的兩個實數解，求 $x_{1} + x_{2}$ 之值。
設 $x_{1}, x_{2}$ 為方程式 $3^{2 x} - 10 \cdot 3^{x} + 9 = 0$ 的兩個實數解，求 $x_{1} + x_{2}$ 之值。
設 $x_{1}, x_{2}$ 為方程式 $2^{2 x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ 的兩個實數解，求 $x_{1} + x_{2}$ 之值。
設 $x_{1}, x_{2}$ 為方程式 $3^{2 x} - 12 \cdot 3^{x} + 27 = 0$ 的兩個實數解，求 $x_{1} + x_{2}$ 之值。
設 $x_{1}, x_{2}$ 為方程式 $3^{2 x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$ 的兩個實數解，求 $x_{1} + x_{2}$ 之值。
本金 $P$ 元以年利率 $10%$ 複利計算（每年複利一次）。至少要經過幾年，本利和才會超過本金的兩倍？（已知 $lo g 2 = 0.301$ ， $lo g 1.10 = 0.0414$ ）
本金 $P$ 元以年利率 $6%$ 複利計算（每年複利一次）。至少要經過幾年，本利和才會超過本金的兩倍？（已知 $lo g 2 = 0.301$ ， $lo g 1.06 = 0.0253$ ）
本金 $P$ 元以年利率 $4%$ 複利計算（每年複利一次）。至少要經過幾年，本利和才會超過本金的三倍？（已知 $lo g 3 = 0.4771$ ， $lo g 1.04 = 0.017$ ）
本金 $P$ 元以年利率 $8%$ 複利計算（每年複利一次）。至少要經過幾年，本利和才會超過本金的三倍？（已知 $lo g 3 = 0.4771$ ， $lo g 1.08 = 0.0334$ ）
本金 $P$ 元以年利率 $7%$ 複利計算（每年複利一次）。至少要經過幾年，本利和才會超過本金的兩倍？（已知 $lo g 2 = 0.301$ ， $lo g 1.07 = 0.0294$ ）
本金 $P$ 元以年利率 $10%$ 複利計算（每年複利一次）。至少要經過幾年，本利和才會超過本金的三倍？（已知 $lo g 3 = 0.4771$ ， $lo g 1.10 = 0.0414$ ）
設 $θ$ 為銳角且 $tan θ = \frac{5}{12}$ ，求 $sin θ cos θ$ 之值。
設 $θ$ 為銳角且 $tan θ = \frac{8}{15}$ ，求 $sin θ cos θ$ 之值。
三角形 $A B C$ 中， $\overline{A C} = 3$ ， $\overline{B C} = 5$ ， $∠ C = 12 0^{\circ}$ ，求 $\overline{A B}$ 的長。
三角形 $A B C$ 中， $\overline{A C} = 5$ ， $\overline{B C} = 8$ ， $∠ C = 6 0^{\circ}$ ，求 $\overline{A B}$ 的長。
三角形 $A B C$ 中， $\overline{A C} = 10$ ， $\overline{B C} = 16$ ， $∠ C = 6 0^{\circ}$ ，求 $\overline{A B}$ 的長。
三角形 $A B C$ 中， $\overline{A B} = 6$ ， $\overline{A C} = 8$ ， $∠ A = 15 0^{\circ}$ ，求三角形面積。
設 $α, β$ 均為銳角， $sin α = \frac{3}{5}$ ， $sin β = \frac{5}{13}$ ，求 $cos (α + β)$ 之值。
設 $α, β$ 均為銳角， $sin α = \frac{4}{5}$ ， $sin β = \frac{12}{13}$ ，求 $cos (α + β)$ 之值。
設 $α, β$ 均為銳角， $sin α = \frac{3}{5}$ ， $sin β = \frac{8}{17}$ ，求 $cos (α + β)$ 之值。
設 $α, β$ 均為銳角， $sin α = \frac{5}{13}$ ， $sin β = \frac{7}{25}$ ，求 $cos (α + β)$ 之值。
設 $α, β$ 均為銳角， $sin α = \frac{8}{17}$ ， $sin β = \frac{3}{5}$ ，求 $cos (α + β)$ 之值。
求函數 $f (θ) = 6 sin θ + 8 cos θ - 3$ 的最大值。
求函數 $f (θ) = 12 sin θ + 5 cos θ - 4$ 的最大值。
設 $u = (2, 3)$ ， $v = (4, - 1)$ ，求內積 $u \cdot v$ 。
設 $u = (1, - 2)$ ， $v = (3, 5)$ ，求內積 $u \cdot v$ 。
設 $u = (5, 2)$ ， $v = (- 1, 4)$ ，求內積 $u \cdot v$ 。
設 $u = (1, 2)$ ， $v = (3, 1)$ ，求 $∣ u + v ∣^{2}$ 。
設 $u = (3, 1)$ ， $v = (1, 2)$ ，求 $∣ u + v ∣^{2}$ 。
設 $u = (2, 5)$ ， $v = (3, 1)$ ，求 $∣ u + v ∣^{2}$ 。
空間中三點 $A (0, 0, 0)$ ， $B (2, 1, 2)$ ， $C (1, 3, 0)$ ，求三角形 $A B C$ 的面積。
空間中三點 $A (1, 1, 1)$ ， $B (3, 2, 1)$ ， $C (2, 4, 3)$ ，求三角形 $A B C$ 的面積。
空間中三點 $A (1, 0, 0)$ ， $B (3, - 1, 0)$ ， $C (3, 0, - 1)$ 決定平面 $E$ ，求點 $P (4, 5, 6)$ 到平面 $E$ 的距離。
空間中三點 $A (0, 1, 0)$ ， $B (1, - 1, 0)$ ， $C (2, 1, - 2)$ 決定平面 $E$ ，求點 $P (5, 3, 4)$ 到平面 $E$ 的距離。
空間中三點 $A (1, 1, 0)$ ， $B (4, - 1, 0)$ ， $C (7, 1, - 2)$ 決定平面 $E$ ，求點 $P (2, 5, 7)$ 到平面 $E$ 的距離。
空間中三點 $A (0, 0, 1)$ ， $B (4, - 1, 1)$ ， $C (8, 0, 0)$ 決定平面 $E$ ，求點 $P (3, 2, 5)$ 到平面 $E$ 的距離。
空間中三點 $A (0, 0, 2)$ ， $B (3, - 2, 2)$ ， $C (6, 0, 0)$ 決定平面 $E$ ，求點 $P (4, 1, 1)$ 到平面 $E$ 的距離。
空間中三點 $A (2, 1, 0)$ ， $B (4, 0, 0)$ ， $C (4, 1, - 1)$ 決定平面 $E$ ，求點 $P (0, 0, 8)$ 到平面 $E$ 的距離。
坐標平面上，求點 $(0, 1)$ 到直線 $8 x + 15 y + 3 = 0$ 的距離。
設 $A = [2134]$ ，求 $det (2 A)$ 之值。
設 $A = [6325]$ ，求 $det (3 A)$ 之值。
求行列式 $105216340$ 的值。
設 $x, y$ 滿足 ${2 x + 1 y = 5 1 x + 3 y = 5$ 以克拉瑪公式求解，則 $x y$ 之值為何？
設 $x, y$ 滿足 ${3 x - 1 y = 1 1 x + 2 y = 5$ 以克拉瑪公式求解，則 $x y$ 之值為何？
設 $x, y$ 滿足 ${2 x - 3 y = 3 1 x + 1 y = 4$ 以克拉瑪公式求解，則 $x y$ 之值為何？
6 個人排成一列，其中甲、乙兩人必須相鄰，共有幾種排法？
7 個人排成一列，其中甲、乙兩人必須相鄰，共有幾種排法？
7 個人排成一列，其中甲、乙兩人不可相鄰，共有幾種排法？
某社團有 7 位男生、3 位女生，要從中選出 4 人組成代表隊，且隊中至少要有 1 位女生，共有幾種選法？
某社團有 6 位男生、5 位女生，要從中選出 4 人組成代表隊，且隊中至少要有 1 位女生，共有幾種選法？
某班有 6 位男生與 5 位女生，從中任選 4 人去參加比賽，要求男、女生都至少有 1 人，共有幾種選法？
某班有 7 位男生與 4 位女生，從中任選 4 人去參加比賽，要求男、女生都至少有 1 人，共有幾種選法？
求 $(1 x + 3)^{7}$ 展開式中 $x^{2}$ 項的係數。
求 $(x^{2} + \frac{2}{x})^{6}$ 展開式中常數項的值。
求 $(x^{2} + \frac{3}{x})^{6}$ 展開式中常數項的值。
求 $(x^{2} + \frac{2}{x})^{9}$ 展開式中常數項的值。
甲袋有 3 個紅球、2 個白球，乙袋有 1 個紅球、4 個白球。隨機選一袋（兩袋機會均等）再從袋中任取一球，結果取到紅球。求此紅球來自甲袋的機率。
甲袋有 2 個紅球、3 個白球，乙袋有 4 個紅球、1 個白球。隨機選一袋（兩袋機會均等）再從袋中任取一球，結果取到紅球。求此紅球來自甲袋的機率。
甲袋有 4 個紅球、1 個白球，乙袋有 2 個紅球、6 個白球。隨機選一袋（兩袋機會均等）再從袋中任取一球，結果取到紅球。求此紅球來自甲袋的機率。
某遊戲須付 18 元參加。擲一公正骰子一次：出現 6 點可得 60 元，出現 1 或 2 點可得 20 元，其他點數得 0 元。求參加一次的期望淨得金額（元）。
某班成績的平均數為 50 分，標準差為 8 分。老師將每位同學的成績都乘以 2，再加 5 分。求新成績的（平均數，標準差）。
已知 $x$ 與 $y$ 的迴歸直線斜率為 3，且 $\overset{x}{ˉ} = 10$ ， $\overset{y}{ˉ} = 50$ 。依此迴歸直線，當 $x = 14$ 時， $y$ 的預測值為何？
已知 $x$ 與 $y$ 的迴歸直線斜率為 -2，且 $\overset{x}{ˉ} = 20$ ， $\overset{y}{ˉ} = 60$ 。依此迴歸直線，當 $x = 25$ 時， $y$ 的預測值為何？
已知 $x$ 與 $y$ 的迴歸直線斜率為 5，且 $\overset{x}{ˉ} = 6$ ， $\overset{y}{ˉ} = 40$ 。依此迴歸直線，當 $x = 8$ 時， $y$ 的預測值為何？
已知 $x$ 與 $y$ 的迴歸直線斜率為 1.5，且 $\overset{x}{ˉ} = 30$ ， $\overset{y}{ˉ} = 80$ 。依此迴歸直線，當 $x = 36$ 時， $y$ 的預測值為何？

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